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小学数学 建模素养的层级水平研究 顾文 摘要 《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出将模型思想作为学生的核心素养。实践表明，建模素养的发展具有阶段性特点，学生的建模素养表现为不同的层次水平。本文尝试将学生的建模素养分为再现与识别、应用与变式、构建与评价三个逐级提升的发展水平并进行阐释，在此基础上，用6个相关案例来说明教学与层级水平匹配的方法与重要性。 关键字 核心素养 小学数学 建模素养  一、小学数学核心素养与建模素养教学 数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质。通俗地说，它是学生通过数学学习(或数学某一领域的学习)应达成的一种综合性能力。《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了十大核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。其中，模型思想是一种重要的核心素养。正如史宁中教授所言，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想——“抽象、推理和模型”。 模型化是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律；求出结果并讨论结果的意义。模型思想是学生在数学学习的过程中逐步形成的，在小学数学中提升'建模素养'教学质量有重要意义。让学生参与到概念与定理的形成过程中，是提升建模素养的重要途径。 本文基于小学数学教学实践，尝试对不同水平的建模素养进行分级描述，并以相匹配的教学案例进行解释，以期对小学数学教学提供借鉴。  二、小学数学建模素养水平划分及案例分析 笔者结合学生的能力水平与学习领域，提出小学数学建模素养水平划分模型，表述如下。  如图所示，小学数学建模素养可以分为再现与识别、应用与变式、构建与评价三个逐级提升的水平，而在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个学习领域，学生都可能得到建模能力的培养与提升。 在能力模型分析的基础上，本文试图对小学数学建模素养各级水平进行说明，并选用相关的教学案例来阐述小学教学中怎样培养和提升学生的数学建模索养水平。 （一）再现与识别水平 再现和识别是记忆的一个基本过程。处于本素养水平的学生，在一个新的数学情境中，能够识别情境背后的标准模型，了解其蕴含的数学思想；能够在现实生活或具体情境中初步运用这一模型解决数学问题。  【案例1】乘法分配律(数与代数，图形与几何) 1.填空：678×35 = ( )×5+678×( )。 2.上衣每件188元，裤子每条112元，买3套衣服要多少钱？ 3.先化简，再求值：8a+7a+15，其中a=9。 4.希望小学有一个长方形操场，长、宽分别是60米和30米。现在需要扩建，将宽增加10米，求扩建后操场的面积。  5.根据算式编两道求面积的应用题。 46×8+46×2 (36+64) ×12 运算定律是计算法则的推导依据，也是计算技巧的使用依据。这五个不同的教学实例，涉及数学学习的不同领域，但是它们背后的模型均为乘法分配律。教师理解这一水平的分级有利于教学的开展，同时还可进一步引导学生对再现的情境进行辨认，进一步对模型进行识别。 长方形图因能借助长、宽、面积之间的关系来表述两个量的乘积关系而被广泛应用。教师在教学实践中常引导学生借助图示法来解决一些数学问题，而根据算式想象图形、再编应用题的教学模式，则对学生建模素养的形成和提升非常有益。 【案例2】植树问题(综合与实践) 世纪大道某段马路(一侧)从头到尾栽了100棵梧桐树，每两棵树之间的距离为10米。这段马路长多少米? 在讨论这样的植树问题时，教师常常会让学生通过面图或摆小棒的方式来探究棵数和段数之间的关系。在画(摆)了三五棵“树”之后，达到本素养水平的学生就会发现其中的规律，即植树问题的公式模型： 两头都种，棵数=段数+1； 一头种一头不种，棵数=段数； 两头都不种，棵数=段数-1。 上面的模型只适用于“植树”这个情境吗？当学生看到锯木头、排队列、敲钟、一串千纸鹤等现实生活情境时，他们会做出怎样的识别呢？ 教师只需稍作启发，学生就会发现：锯木头属于“两头都不种”；排队列属于“两头都种”；敲钟属于“一头种一头不种”；而一串千纸鹤和一排梧桐树一样，不同的“串法”对应“植树问题”中的不同情形。 为了提升这一素养水平，教师还可以引导学生建立实物模型，如五指四空等，一方面可以促进学生去寻找恰当的数学模型，另一方面也给了孩子们一个记忆的工具。  (二)应用与变式水平 处于本素养水平的学生，能够识别问题情境并将情境结构化，进一步转化为数学问题，提出合理的假设并选择适当的方法解决问题在交流过程中，能够结合具体的数学建模案例说明问题。 【案例3】植树问题的实际应用(综合与实践) 同一类问题因为教学目标和内容设计不同，可以匹配不同的建模素养层级。以“植树问题”为例，简单判断所给情境是植树问题的哪一种类型，然后通过计算解决问题，这只是一个“识别”的过程。如果能够将其在实际生活中加以应用，就达到了数学建模的第二个层级。 例如，请学生以小组合作的形式讨论如下问题：估计学校里一段围墙的长度，你有什么好办法？ 学生讨论后提出了两种策略—— 策略一：校园围墙旁有一排香樟树，测出相邻两棵树之间的大致距离，就可以知道从第一棵树到最后一棵树之间的距离，两侧的距离比相邻两棵树之间的距离长很多，需要另外测量。测量时可以用卷尺，可以用步测，也可以用“庹”。 策略二：校园的围墙被一些石柱分割成一段一段的，只要测量出每一段的距离，数一数有几段，就可以了(因为两头都有柱子)。因为树之间的距离不一定都相等，但是围墙每一段的距离是相等的，所以这样的方法得到的结果更接近于实际。 【案例4】鸡兔同笼(数与代数) 小华到商店购买排球，每个30元，共买9个，应该付款270元。 营业员：你带了怎样的钱币? 小华：我带的都是50元一张的纸币。 营业员：真不凑巧，我这里只有20元一张的纸币，没有其他面值的。 请你帮帮忙，该怎么办? 教学中将生活情境转换成数学语言小华带的都是50元的纸币，即她付给营业员的钱只能是50的倍数，而营业员手中都是20元的纸币，说明营业员找给小华的只能是20的倍数。小华所付的钱与营业员找回的钱的差应该正好是270元。这里要求学生理解和探索的数学模型是50×( )-20×( )=270。其实，这就是“鸡兔同笼”模型的应用。   (三)构建与评价水平 处于本素养水平的学生，基本能够完成提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型的建模过程，能够基于亲身经历寻找到比较隐蔽的现实模型，并借助它去解决陌生情境中的相关问题。 【案例5】烙饼问题(综合与实践) 配合本素养水平学生的学习，烙饼问题'可以采用如下设计展开教学—— 审题：建模准备。因为要求“尽快吃上饼”，所以要想出一个最节省时间的办法。 猜想：模型假设。在讨论烙2张饼时，学生之间没有分歧，而在讨论烙3张饼时，有学生提出了“只要锅不空就能节约时间的假设”。 探究：模型建构。通过学具操作或想象，学生发现烙3张饼可以让锅不空，并形成一个基本模型只要锅不空，一锅只能烙2张饼时，烙3张需要9分钟。 结果：模型求解。引导学生讨论，烙4张饼、5张饼、6张饼、n张饼，各需要花费多少时间。经过讨论，学生发现烙偶数张饼时，可以套用烙2张饼的方法，每烙2张花费6分钟，所以饼的张数是2的几倍，花费的时间就是几个6分钟。烙奇数张饼时，可以结合使用烙2张饼和烙3张饼的方法，先用9分钟烙3张饼，剩下的就是偶数张饼，再回到前面的方法。 回到实际：模型检验。教师设计一些类似的生活情境，让学生使用上述模型解决问题。 【案例6】计算路程(数与代数) 甲离学校10千米，乙离甲3千米，那么乙离学校几千米? 本题考査学生的模型表达能力，即能否将问题中的数量关系作直观化的表达(下图)。基于图示模型容易得出，若甲、乙、学校在一条直线上，则答案有两个；若三者不在一条直线上，则答案有无限多个，但乙都位于以甲为圆心、半径为3千米的圆上。 这样开放性的问题可以培养学生创造性地运用数学知识的能力，也能体现出数学建模和数学应用题的区别。数学模型有一定的开放性，用不同的思想方法、简化方法可以得到完全不同的模型，有时候答案不唯一、不固定，它是对实际问题的一种数学描述。 本文将建模素养进行不同水平的划分，并用若干教学案例来说明小学数学建模素养教学应怎样适应学生的认知发展，可以提供一些教学启示。首先，教师要清晰地了解数学核心素养的水平划分，提升教学设计的针对性。其次，同样的教学情境可以构造不同阶段的教学问题，教师在小学数学教学中，要看到学生核心素养发展的阶段性和关联性，把握教学机会，促进学生的认知发展。 作者单位：上海市徐汇区华东理工大学附属小学 本文选自《小学数学教师》2017年第3期 |
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