对中国传统数学的再认识 （上） 吴文俊 （中国科学院学部委员，数学研究所研究员）摘自《百科知识》1987 中国传统数学源远流长，贡献巨大，对数学的发展有不可磨灭的作用，但自宋元时期出现最后一次高峰后，明代以来即趋衰微，至明末已几成绝学。从明清以至今日，实质上已退出了数学舞台。历代中外算家，也曾尝试阐释幸存至今的中国经典算书，但一些抱着轻蔑成见妄加诋毁者姑置不论，即使出于善意克服古文字的阻碍而从事认真钻研的学者，也往往或拘泥于西方数学的先入之见，或着眼于以现代的数学方法与成就理解古人著作，以西释中，以今议古，致使面目全非，掩盖甚至歪曲了中国传统数学的真实面目。试举数例如下。 西方早在欧几里得的“几何原本”中就已出现了素数的概念并证明了素数个数无穷。19世纪以来又出现了复域中整数、素数与因子分解等概念：并用解析方法研究素数的分布。由此创立的代数数论、解析数论等领域，都已成为现代纯粹数学的核心部分。与之相反，我国传统数学中从来没有出现过素数与因子分解一类疏念，妄论其他。但是，我们不能因此就认为中国古时没有数论。 欧几里得几何中平行线公设的独立性一直是西方数学家们所关注的问题，也是集合发展的一个重要动力，19世纪时终于摆脱了这一公设创立了非欧几何等领域。与之相反：我国传统数学中从来就没有平行线概念的痕迹但我们不能因此就认为中国古时没有几何学。16世纪以来，西方出现了以符号代表数字的做法，到了19世纪发展起遵守各种运算规律的不同代数系统。对于方程，则阐明了根与系数间的关系，证明了必有复数解得代数基本定理，建立了能否用系数根式表达式求解的Galois理论。与之想反，我国古时未曾出现过文字代表数字以及讨论根的性质一类工作，但我们不能因此就认为我国古时没有代数字。 欧几里得《几何原本》建立了由定义，公理定理、证明构成的演绎系统，成为近代数学推理论证的典范。与之相反，我国典籍中从未出现过这种演绎证明的方式。但是，我们不能因此就认为我国古代数学没有逻辑思维，也不用逻辑推理。 早在古希腊时，西方就论证了不能用两整数之比表达的所谓无理数的存在。19世纪又明确了实数概念与复数概念。与之相反，我国古代数学从未考虑过无理数或实数这样的概念，更没有复数的痕迹。但是，我们不能因此就认为我国古代没有数系统甚至没有数学。 因此，要真正了解中国的传统数学，首先，必须撇开西方数学的先入之见，直接依据目前我们所能掌握的我国固有数学原始资料，设法分析与复原我国古时所用的思维方式和方法，才有可能认识它的真实面目。这一尝试自然并非易事。首先是资料问题。我国古籍散失者多而幸存者少。我国最重要的经典算术式《九章算术》，按钱宝琮说着最迟是在公元50至100年间的汉代定型成书。较之稍早见之于《汉书》本来还有许商、杜宗等算术，但只存其名。5世纪南北朝祖冲之的《缀书》是一部名著，唐时被列为《算经十书》之一，为国子监学生所必读，后终因难学而废黜，至宋元时即已失传而不详内容。宋元时期曾刊行过大量算书，但杨辉的某些著作只剩残卷。朱世杰的《算学启蒙》在我国本土已经绝迹而于19世纪初复得之于朝鲜。在杨辉、李治、朱世杰的著作中曾提到过的当事的许多算书，更久已荡然无存。虽然如此，尽管古籍存者不多，但它们还是提供了一个足够清晰的轮廓，足以使人们看出我国传统数学固有的体系、方法与内容，以及一条相当清晰的发展途径。今年来，国内外学者对此论者颇多，笔者将随意引用他们的研究成果，但文中所表达的各种观点，则概由笔者本人负其全责。 中国传统数学的体系 西方的欧几里得体系着重抽象概念与逻辑思维以及概念与概念之间的逻辑关系。与之相反，我国的传统数学则基本上是一种从实际问题出发，经过分析提高而提炼出一般的道理、原则与方法以最终达到解决一大类问题的体系。与欧几里得体系相适应，它有一个以定理、公理、定义、证明所构成的表达形式。同样，我国的传统数学与它的独特体系相适应，也有一种独特的表达方式。大体来说，中国数学的经典著作大都以依据不同方法或不同类型分成章节的问题集的形式出现。每一个别问题又都分成若干个条目。条目一是“问”，提出有具体数值得问题。条目二是“答”，给出这一问题的具体数值答案。条目三是“术”，一般来说乃是解答与条目一同种类型问题的普遍方法，实际上就相当于现在计算机科学中的“算法”，但有时也相当于一个公式或一个定理。条目四是“注”，说明“术“的依据于理由，实质上相当于一种证明。宋元以来，可能是由于印刷术的发达，往往加上条目五“草”，记述依据“术”得出答案的详细计算过程。 这里应该特别指出条目三“术”的作用。虽然条目一、二的问与答都以具体数值表达，有时甚至术文本身的问与答也是如此，但不难看出所有术文都具有普遍意义。术文中即使带有具体数值，这些数值并不起重要作用。如果以其他同类型的数值来代替，术文也依然行之有效。条目四的“注”或证明也是如此。论证的正确性完全不依赖于原设数值的特殊性。例如《九章算术》第九章勾股的第一、二、三的三个问题，都是以勾三、股四、弦五为例，知其二而求第三者。求法名为勾股术，术文说：“勾、股各自相乘，并而开方除之，即弦。”显然，这是从勾股求弦的一般方法，与具体数值三、四、五无关。勾股术的注或即证明也是如此。因此，问、答甚或术文中的具体数值只起着一种举例说明作用，同时也指出了术即一般方法的来历与动机。 西方数学中也并非没有以问题集形式出现的著作。值得一提的是，推测出现于3世纪的《丢番图集》一书。这本书也是以问题集的形式出现的，分成6卷，其中搜集了189个关于整数的问题。．它是西方近代数论的源泉。所谓费马大问题，即是因l7世纪时费马在该书边缘上写下了一个注解，但有关问题迄今未能解决而得名。丢番图一书不含有任何一般构方法。它所包罗的189个问题中所出现的特殊数字是有特殊作用的，每一个问题要用只适用于它自身特殊数字的特殊而往往又很奇特的办法，来求得其答案。因此，19世纪德国著名的数学史家汉克尔(H．Hankel)在他的名著《上古与中古时期数学史》一书中曾经这样评论丢番图这本书：“在研究了丢番图l00个解答以后，对千第101个问题依然无所措手。”所论或许失之过苛，但不论如何，丢番图一类的问题集，与中国古时以追求普遍适用于解决一大类问题的一般方法为主的问题集相比，是不能相提并论的。 实数系统的建立 实际问题的解答通常需要通过数量来表达。因此，达到这一目标的先决条件是要有一个良好的数系统以及简易的运算工具与运算法则。首先是一个可以表达任意大整数的方法。中国远古时就为此而创立了完善的10进位值制。世界古时各个民族，都有不同形式不同程度的进位制记数法，如巴比伦的60进位制、埃及与希腊的10进制以及中美与南美马雅民族的20进位制等。但是，它们的进位制有时是不完全的，更谈不上位值制。至于印度，至少在6世纪以前，其以位值制表达的记数方法，即使是个别数字也还没有发现过。当时的记数方法是杂乱无章荒谬绝伦的，不妨参阅印人Datta-Singer的《印度数学史>>以及范德瓦尔登(Van der Waerden)《科学的觉醒》等著作。没有一个像样的进位制或即使有但没有完善的位值制，则哪怕是简单的算术运算也是难以完成的。要在这样的基础上建立数学大厦，就更是匪夷所思了。 在我国，由于古黄河流域气候温暖，遍地多竹，人们可就地取材，采取以竹为筹，置筹于盘来进行各种运算的。在盘上，不同位置的同型算筹不仅代表某一绝对数值，而且还代表不同的位置数值，由此从10进制进化为具有位值的l0进位位值制记数法是颇为自然的。在这种记数法中，自然出现以空格表零的法则，这与后世书写方式中印度之以“0”或“、”、我国之以“口”和马雅民族之以眼形符号表示零者并无实质上之不同。早在《九章算术》中已经有开平、立方根的算法，其中位值制以及空位作零的作用极为明显，更不用说其他算术运算了。正是由于这种位值制的发明，才使古时中国的数学有可能蓬勃发展，为至少从秦汉至宋元一千数百年间数学的繁荣奠定了基础。 位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义，非但为一般人们所不了解，甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出算术应在一切有用的发明中列于首位。中华民族是这一发明当之无愧独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国四大发明相媲美的。中华民族应以出现这一发明而引以自豪。 在整数位值制表达的基础上，我国又逐步扩大数的系统。《九章算术》在方田第一章与少广第四章中详细叙述了分数各种运算与大小比较的法则。在方程第八章中则引进了负数。同在少广章中，又叙述了非位值制无从进行的开平、立方法的详细步骤。在开方不尽时则加一分数以为其余，即所谓命分。刘徽在《九章注》中对开方不尽以及求圆周周率的问题提出以10进小数逼近的想法。遗憾的是，在刘徽以后的数百年间，这一重要主张未为学者们所认识。但至宋元之际，这种正负l0进小数巳被普遍使甩。而在欧洲，则直至l584年才由，斯蒂文(S．Stevin)(1548—1620)引入l0进位小数，又迟至18世纪才获得通行，并被认为是继位值制之后的又一重大创造。至于西方数学史家历来把这些都归之于印度的发明，则自然是张冠李戴了，这是一种历史性的错误，在此不能不辩。 整数位值制的建立，负数以及分数与小数的引入，使整个实数系统得以完满地完成。而有无实数无理数之类的概念与名称，则是另一问题。对于实数的现代认识，本来还是19世纪中叶才有的事。完善而使用方便的数系统，创造了十分优越的条件，使我国的传统数学一千数百年间大放异彩。 数论的辉煌成就． 中国从来没有素数与分解因子的概念，但这并不妨碍我国以自己独有的方式发展数论。 中国虽没有素数与分解因子的概念，但有最大公因子的概念及其求法。只是当时称两数的最大公因子为“等"，求法是“以少减多，更相减损，求其等也”。这一方法见于《九章算术>>方田章的约分术并不是偶然的。现代为了求分数之和而先通分时，往往先将诸分母分解成素．因子的乘积，但是分解因子在整数较大时并非易事，相反求“等”即求两数的最大公因子则要容易得多。九章算术玲少广术就避开了分解因子这一步，巧妙地只利用求等得出了分数之和，这比现行方法要简便许多。 勾股形、(即直角三角形)的三边何时成整数比，自然是数论中颇具代表性的问题。《九章算术》勾股第九章出现这样可能的分数比有8组之多。由求等法容易化分数比为整数比，即刘微《九章注》中所谓“如是或有分，当通而约之乃定”。出现这样多的整数比决非偶然，事实上勾股章已提出了构造这种比的一般方法与一般公式，刘徽《九章注》中还给出了公式的几何证明。至于中国以外，则上述问题最早是在12世纪也以分数的形式出现于印度婆什伽罗（Bhaskara）（1114~1185年)的著作中。 我国在数论上的又一杰作是大衍术，即现代通称的中国乘法定理，用现代术语相当于一组同余式的解法。大衍求一术初见于时秦九韶1247年的《数学九章》一书，但其来源则是天文历法中上元积年计算问题，且从汉以来历代的历法中均有一条颇为清晰的发展路线。至秦书时则不仅有详细的算法，还把应用推广到历法计算等问题上，甚至还有一个盗窃追赃的案例。现代解决这一同余式问题，通常限于各同余式诸模数两两互素的情形。方法是先将诸模数分解成素因子的乘积，并求出其欧拉数，最后得出所求的解。因为分解因子比较繁难，所以对于秦书诸题中出现的天文数字般的大数，这种方法由于计算量的庞大，即使用现代的计算机要完成其计算也是不容易的。对于根本没有素数概念的中国传统数学，秦九韶却利用了求等的方法，首先将模数的情形化成模数两两无等即两两互素的情形，再用与求等类似的方法巧妙地得出其解法，这在世界数学史上也是很了不起的一举。当时计算用筹，即使如此，对于有着天文数字般大数的各个问题，也都轻易地获得了答案。秦书中并记载了所有计算过程的详草。 | 
