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目前虽有研究者对地球的转动惯量得出了初步理论计算值，但其正确性尚有待从多个角度进一步验证，现按以下两种方法作有关计算来进行验证。 1、按第一种方法计算地球转动惯量 即按月球在一定时期内远离地球所需角动童，与地球同期因自转角速度降低而可能转输给月球的角动量相等的条件，求解地球的转动惯量。为此先需计算月球现在离开地球的速度及其过去变化规律，以及地、月距离的变化规律等一系列参数。 1.1 月球现在离开地球的速度及其过去变化规律的计算 其速度虽己有较为准确的观测值，但为了弄清它在各历史时期的变化规律仍需在此再进行有关的理论计算。为此需先计算月球所受地球的潮汐分力、地球潮峰质量及潮峰质心至地心的距离。 1.1.1 月球在运行方向所受湖汐分力的计算
图1 地球潮峰对月球的引力 如图1所示，设地月距离为L，月球质量为M，单面潮峰（包括体湖与海潮）总质量为n，潮峰质心至地心的距离为S，S在地月向径上的投影长度为e，那么由于角度θ及 α 都很小，故二潮峰对月球的引力F1及F2可分别按下列两式计算：
式中G：万有引力常数。 月球在运行方向所受潮汐分力Fτ可按几何关系按下式计算：
式中b ：潮峰质心偏心距(m)。 因上式中e/L <>
己知现在的潮汐滞后角α =3.2°，从而可算出6≈355km。但它要随地球对地月向径的相对角速度的降低而减小，随潮峰移动阻尼的増加而增大。其量值极难定童计算，故这里暂且假设它在4.2亿年内为常量。那么上式中还有单面潮峰总质量 n 及其质心与地心的距离 S 为未知量。现在下面来求解这两个参数。 1.1.2 地球潮峰质量n的计算
图2 地球潮峰质量的计算 如图2所示，设地球半径为R，现用半锥角为β及β+dβ的两个圆锥面在潮峰上切取一环状微元体。该处潮汐高度h可根据文献[1]的(18) 式计算，即：h = h0(cos2β - 1/3)，式中h0：最大潮汐落差（m)。 上式是按图2所示，以红线表示的地球未涨潮时的外表面为基准推导出来的[1]。实际上，涨潮后的地球外径如黑线所示，半径约缩小h0/3。所以要正确计算整个潮峰质量，应以黑线所示的球面为基准；这时的边界条件是β = ± π/2，h=0；从而可求得积分常数 C = 0。那么，上式可改写为： 故环形微元体的体积可按下式计算： dV = 2πR2h0cos2β sinβdβ (6) V = 2/3 πR2h0 (7) 单面潮峰的总体积可由上式在0?π/2区间内积分求得，体积V乘以潮峰物质平均密度ρ则可得单面潮峰总质量n的计算式。 1.1.3 潮峰质心离地心距离S的计算 n = 2/3 πR2h0ρ (8) S值可按下式计算(参看图2)：
由于α值很小，故可得e ≈ s；由此可见e也可近似看作常量。 1.1.4 月球现在离开地球的速度计算 该速度可根据月球因受湖汐分力Fτ而获得的角动量 J 对时间 t 的微商，等于月球绕地球运行的角动童J′，对时间 t 的微商的条件算出。前者可按下式计算：
后者可按下式计算：
式中M1：地球质量(kg)。 命二者相等，并将(8)式及(9)式代入，经整理后可得：
式中V0就是现在月球离开地球的速度。己知R = 6.371 × I06m， h0=0.5m，b = 3.55 X105m，现在地月距离L0=3.84X108m，G = 6.69X10-11m3kg-1s-2，M1 = 6.976 × 1024kg；己知海洋与大陆面积之比为7: 3，故按比例折算，近似取ρ =1400kg/m3。将上列数据代入上式可算出，V0=4.36cm/年，这和大家公认的数值很接近，也说明以上的计算是基本正确的。但据报导，美国借助卫星测量发现月球在28年内轨道半径増大了1m，由此可以算出V0=3.57cm/年，这应是目前最精确的观测值。 1.1.5 月球过去离开地球速度变化规律的计算 由文献[1]的(11)式可知，h0与地月距离L的三次方成及比，又因R、G、M1及ρ均可看作是常量；如果再假设b值在距今较长时期内保持不变，那么，根据和分析(8)式及(12)式可得月球在任意时刻离开地球的速度v的计算式： v = K/L5.5 (13) 式中K：比例常数。 根据现在的边界条件：L=L0，v=v0，从上式可解得K = v0L5.5，将它代入上式可得： v = v0L05.5 / L5.5 (14) 上式中L是随时间 t 而变的，但要求出 v 与时间的函数关系要涉及极难求解的积分方程的计算，故在下面提出一种 v 的近似数值求解法。 我们将要考察的年限 t 分成 n 等分，每等分以Δt 表示，Δt = t/n，时间每过Δt 后的速度以v1表示，每过2Δt后的速度以v2表示，依此类推，那么，根据上式可得：
上式右端分母括号内的后一项远小于1，故可将中括号内的部分展开成级数并略去所有高次项，那么依次可得：
若取考察的年限为4.2亿年，取 n 为10，则Δt = 4.2X107年，取v0=3.57cm/年，已知L0=3.84X1010cm。那么，按(16)式计算的结果列于附表。 附表 月球在过去不同时期远离地球的速度
1.2 4.2亿年前至今月球获得角动量的计算 为此先要计算4.2亿年前月球至地球的距离L1，它可按下式计算： L1 = L0 -(v0 + v1 + v2 +…… + v9) x Δt (17) 将有关各数据代入上式可得L1 = 3.675 X10l0cm=3. 675X108m。月球轨道半径从L1至L0所获得的角动量J1可按下式计算：
将以上计算得出的有关数据代入上式可得：J1=6.177 X1032kg·m2/s；如果计入近似计算的误差而加以修正，则可得：J1 = 6. 242 X 1032kg·m2/s。 1.3 4.2亿年来地球能输送给月球的角动量J0的计算 按文献[2]的(12)式 J0 可按下式计算：
式中ω2： 4.2亿年前地球的自转角速度（s-1)，按文献[2]的计算为：82X10-5s-1；ω0：现在地球的自转角速度。为 7.272X10-5s-1；ΔI：按文献[2]的(9)式可得，4.2亿年前ΔΙ=0. 013·Ι。 上式中J3′为4.2亿年前至今地球因太阳潮丢失的角动量，它可按下式算出： J3′ = Nt = 11.81 × 1015 × 4.2 × 108 × 365 × 24 × 360 = 1.564 × 1032kg·m2/s 式中N：太阳潮对地球的制动力矩（N · m)，按文献[2]的计算为N = 11.81X1015N·m；t ：时间（s)。 1.4 地球转动惯量的计算 由于地球输出的角动童J0应等于月球吸收的角动量，故按(19)式计算的结果应等于已按(18)算出的J1值；从而根据有关数据可解得：I = 7.545 X1037kg·m2/s。 2、按第二种方法计算地球转动惯量 即直接根据已知地球内部物质密度分布情况来进行地球转动惯量的计算。
图3 地球转动惯量的计算 图3所示为地球的剖面，R为地球外半径，现切取半径为r 厚度为dr的壳球体，再在其上切取断面为rdθdr 的微元环形体来考察，则其总质量为 2πρr2sinθdr。其中 ρ 为壳球的密度，它随地球半径 r 而变，若假设它从地心到地表按线性规律分布，它可近似按下式表达： ρ = ρ0 + (1 - r/R)ρ1 (20) 式中ρ0：地球表层物质密度，约为2700kg/m3； 按地球中心物质密度ρ =13000kg/m3，该处r = 0，从上式可解出ρ1 = 10300 kg/m3。 上述微元环形体的总质量再乘以其转动半径的平方，即（r·sinθ)2就是它的转动惯量。囡此整个地球的转动惯量 I 可由下式积分求得：
上式展开并积分卮，将各有关数据代入可求得：I = 7.787X1037kg·m2。 3、对计算结果的讨论 按文献[3]的观点，43.8亿年前，地球初始转动惯量I0为：4.59X1037kg·m2；其平均年増长率dI / dt为：8.49X1027kg·m2/a；自转角动量J为：5.861 X1033kg·m2s-1，并假设 J 及地球质量M1均为不变的常数。我按上述两组数据及假定，算得现在地球的转动惯量 I 分别为：8.31 X 1037kg·m2和8.06X1037kg·m2。它虽与本文计算结果相差不太多，但由于以下原因，其可靠性很值得怀疑。 该文献表1所列出的地球半径増长率的各种参考数据，其最大值与最小值竟相差十倍以上；按表2所列地球日长变化率的各种参考数据， 则相差2.6倍；按这种不可靠的原始数据算出结果的可靠性就可想而知了。计算还表明，即使假设4.4亿年前月球才被俘获，40多亿年来，地球因太阳潮及太阴潮损失的角动量高达2.182X1033kg·m2s-1，损失率约为40%；如果假设月球存在了40多亿年，则有确凿的证据证明，月球从地球吸收的角动量将比按(18)式计算的结果至少大十倍以上，地球自转角动量无疑将损失殆尽，而该文献却把这种巨大损失忽略不计，其演算过程的谬误更显而易见了。 本文用两种便捷的完全独立的计算方法求得的数值，只相差3%左右，因而应算作是目前证据最充分并最可信的计算结果。
参考文献 [1] 赵菊初， 对现有地球湖汐理论涨潮高度计算公式的质疑，科学智慧火花栏目，2012-04-07 [2] 赵菊初， 月球作为地球卫星存在时间的推算，科学智慧火花栏目， 2012-03-29 [3] 陈志耕，膨胀地球基本参数的初值及乎均变化率，地球物理学报，1990年笫33卷笫5期 |
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