目 录
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷................ 3
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷.................... 5
2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷................ 11
2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷.............. 13
2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷................ 19
2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 23
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 31
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 33
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷.............. 39
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 41
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷.............. 47
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 49
2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 55
2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 57
2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 63
2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 66
2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 73
2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 75
2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 82
2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷............ 84
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？
3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？
4．在一列数：
，
，
，
，
，
，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于
？
5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．
6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？
7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？
8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？
10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？
11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．
12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与解析
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
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考点：
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竖式数字谜．菁优网版权所有
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专题：
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填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
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分析：
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根据整数加法的计算方法进行推算即可．
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解答：
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解：
解法一：
个位上：0+“杯”=4，可得“杯”=4；
十位上：1+“华”的末尾是0，由1+9=10，可得“华”9，向百位上进1；
百位上：9+1=10，向千位上进1；
千位上：1+1=2；
由以上可得：
；
因此，“华杯”代表的两位数是94．
解法二：
已知1910与“华杯”之和等于2004；
那么“华杯”=2004﹣1910=94；
因此，“华杯”代表的两位数是94．
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点评：
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本题非常巧妙地考察了对整数的加法运算法则及数位的进位等知识要点的熟悉掌握程度．
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2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？
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考点：
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百分数的实际应用；长方形的周长；长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
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专题：
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分数百分数应用题．
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分析：
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设长方形的长为a，宽为b，因此各边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，因此各边长增加10%时，周长增加2（1.1a+1.1b）﹣2（a+b）=2（a+b）×10%，即周长增加10%．
面积增加1.1a×1.1b﹣ab=1.21ab﹣ab=ab×21%，即面积增加21%．
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解答：
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周长增加10%，面积增加21%
解：设长方形的长为a，宽为b，边长增加10%时，
则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，
周长增加：
2（110%a+110%b）﹣2（a+b）
=220%a+220%b﹣2a﹣2b
=2（a+b）×10%；
面积增加：
110%a×110%b﹣ab
=121%ab﹣ab
=ab×21%；
答：周长增加了10%，面积增加了21%．
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点评：
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在求出长宽增加后的长度基础上，根据长方形的周长与面积公式计算是完成本题的关键．
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3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？
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考点：
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正方体的展开图．菁优网版权所有
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专题：
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立体图形的认识与计算．
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分析：
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如图，是正方体展开图的“222”结构，把它折叠成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，相使使其对面两数之和为7，A面填6，B面填5，C面填3．
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解答：
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解：如图，
折成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，
要使其对面之各为7，则A面填6，B面填5，C面填3．
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点评：
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本题是考查正方体的展开图，关键是弄清把它折叠成正方体后，哪两个面相对．
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4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？
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考点：
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数列中的规律．菁优网版权所有
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专题：
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探索数的规律．
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分析：
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这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要使1﹣＜，则n＞999.5，即从n=1000开始，带入分数，即可得解．
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解答：
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解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，
1﹣＜，
n＞999.5，从n=1000开始，
即从开始，满足条件．
答：从开始，1与每个数之差都小于．
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点评：
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找出这列数的规律，根据已知列出等式求解．
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5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．
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考点：
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有关圆的应用题．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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先圆形轨道的半径，再根据圆的周长公式：C=2πr求出飞船沿圆形轨道飞行1圈的长度，再乘以10即可求出飞船沿圆形轨道飞行了多少千米．
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解答：
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解：2×3.14×（6371+343）×10
=2×3.14×6714×10
=3.14×134280
=421639.2（千米）；
答：飞船沿圆形轨道飞行了421639.2千米．
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点评：
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考查了有关圆的应用题，关键是熟练掌握圆的周长公式．
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6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？
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考点：
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染色问题．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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根据四个扇形中有一个红色、两个、三个、四个分类列举即可．
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解答：
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解：按逆时针方向涂染各扇形：
红红红红 红红红黄 红红黄黄
红黄红黄 红黄黄黄 黄黄黄黄
所以，共有6种．
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点评：
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本题考查了排列组合知识中的染色问题，还可以列式解答：4×（4﹣1）÷2=6（种）．
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7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？
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考点：
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时间与钟面．菁优网版权所有
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专题：
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时钟问题．
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分析：
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可设当前是9点x分，则5分钟前分针指向x﹣5的位置，而分针转动的速度是时针的12倍，分针5分钟后指向x+5的位置，时针指向9刻度后刻度处，根据题意列出方程解答即可．
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解答：
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解：设当前时刻是9点x分．则5分钟后时针的位置为
45+=x﹣5
540+x+5=12x﹣60
11x=605
x=55；
答：此时刻是9点55分．
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点评：
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本题主要考查钟表问题的实际应用，熟练掌握钟表的特征是解答本题的关键．
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8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
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考点：
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抽屉原理．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4=13，所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．
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解答：
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解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，
考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，
15+1=16（张），
答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．
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点评：
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此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．
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9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？
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考点：
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带余除法．菁优网版权所有
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专题：
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余数问题．
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分析：
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先设这个两位数为10a+b，则可用含a、b的代数式表示将它依次重复写3遍成的一个8位数，再将此8位数除以该两位数得到商为1010101，然后将1010101除以9即可求解．
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解答：
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解：设这个两位数为10a+b，则将它依次重复3遍成的一个8位数为：
1000000（10a+b）+10000（10a+b）+100（10a+b）+10a+b=1010101（10a+b），
将此8位数除以该两位数得到的商为：1010101（10a+b）÷（10a+b）=1010101，
则1010101÷9=112233…4．
答：得到的余数是4．
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点评：
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本题考查了带余除法的定义及应用，难度中等，用含a、b的代数式正确表示将（10a+b）这个数依次重复写3遍成的一个8位数是解题的关键．
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10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？
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考点：
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图形的拆拼（切拼）．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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因为这块长方形木板的面积为90×40=3600（平方厘米），又因为3600=60×60，即所求的正方形的边长为60厘米，如下图所示．
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解答：
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解：因为90×40=3600，3600=60×60，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼成：
因此，能拼成一个正方形．
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点评：
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先求出总面积，看看是否能分成两个数的平方．
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11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．
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考点：
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组合图形的面积．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，利用圆的面积公式即可求解．
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解答：
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解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，
所以阴影部分的面积是：
×3.14×（12÷2）2
=×3.14×36
=56.52（平方厘米）；
答：图中阴影部分的面积是56.52平方厘米．
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点评：
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此题可以巧妙地利用“缩小法”，得出阴影部分的面积与直径为AB的圆的面积的关系，问题即可得解．
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12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
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考点：
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有关圆的应用题．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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由于小铁环的半径为25厘米，大铁环的半径为50厘米，可得小铁环的半径是大铁环半径的一半．根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，再减去公转的1圈，可得小环自身转动的圈数．
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解答：
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解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，
所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，
其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，
因此，小环自身转动1圈．
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点评：
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本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周长．
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2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？
2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？
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考点：
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日期和时间的推算．菁优网版权所有
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分析：
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先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．
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解答：
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解：2005﹣600=1405（年），
1492﹣1405=87（年）．
答：这两次远洋航行相差87年．
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点评：
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本题先根据2005年求出郑和首次下西洋的时间，再用较晚的时间减去较早的时间．
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2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
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考点：
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日期和时间的推算．菁优网版权所有
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分析：
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先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．
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解答：
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解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月的第四天，
那么一共经过了：11+31+4=46（天），
46÷9=5…1，
说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．
答：立春之日是六九的第1天．
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点评：
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本题的是9天为1个周期，先求出经过的天数（注意两头的天数都算），再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数判断．
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3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
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考点：
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规则立体图形的体积．菁优网版权所有
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分析：
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根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．
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解答：
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解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，
所以直三棱柱的体积=×1×1×1=．
答：这个直三棱柱的体积是．
故答案为：．
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点评：
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本题考查了直三棱柱及展开图的特征和直三棱柱体积计算．直三棱柱是由三个长方形的侧面和上下两个底面组成．
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4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
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考点：
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加法原理．菁优网版权所有
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分析：
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可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到总情况数即可．
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解答：
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解：共有6种不同的入座方法．
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点评：
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考查用列表法解决问题；把1个人固定位置，进而考虑左邻的情况是解决本题的关键．
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5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
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考点：
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分数除法应用题．菁优网版权所有
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分析：
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把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．
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解答：
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解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，
8.5÷（）
=8.5÷，
=40（千米）；
40×=10（千米）；
40×=1.5（千米）；
40+10+1.5=51.5（千米）；
答：三项的总距离是51.5千米．
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点评：
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本题关键是把倍数关系看成一个是另一个的几分之几，找出单位“1”分析出数量关系，再由基本的数量关系求解．
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6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
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考点：
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事物的简单搭配规律．菁优网版权所有
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分析：
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观察图形，分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．
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解答：
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解：6﹣3=3；10﹣6=4；15﹣10=5；21﹣15=6；…
从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…
往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．
答：这列数中的第9个是55．
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点评：
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观察图形，分析数列，发现规律，然后利用规律解决问题．
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7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
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考点：
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规则立体图形的体积．菁优网版权所有
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分析：
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根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可求解．
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解答：
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解：容器甲容积：V甲=×π×（）2×1=π；
容器乙容积：V乙=×π×13=π，
V乙÷V甲=π÷π=8．
答：至少要注水8次．
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点评：
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考查了圆锥的体积和球的体积．球的体积公式是V=πr3．圆锥的体积是V=sh=πr2h．
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8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
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考点：
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分析：
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可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+低年级组数=41组解答即可．
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解答：
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解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：
=41，
3x+2（100﹣x）=246，
3x+200﹣2x=246，
x=46，
100﹣46=54（人），
答：高年级有46人，低年级有54人．
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点评：
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此类题目中一般都有两个等量关系，抓住其中一个等量关系设出一个未知数，从而得出另一个未知数；另一个等量关系用来列方程．
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9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
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考点：
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整数、小数复合应用题；合数与质数；质数与合数问题．菁优网版权所有
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分析：
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先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因数全写出来，再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．
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解答：
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解：48=48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；
答：零售价为6元．
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点评：
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解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意的答案即可．
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10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
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考点：
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分析：
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设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．
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解答：
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解：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则
5+8a=8+5b即；
8a=5b+3，
当b=1时，a=1，总人数为5+8×1=13（人）；
当b=9时，a=6，总人数为5+8×6=53（人）；
当b=17时，a=11，总人数为5+8×11=93（人）．
数字再大就超过100了，所以最多有93人．
答：最多有93名同学．
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点评：
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本题先找出两种组数之间的关系，然后根据组数是自然数和它们之间的关系讨论取值，找出100以内最大的即可．
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11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
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考点：
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分析：
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水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．
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解答：
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解：100﹣2.5×12=70（毫升），
80+70=150（毫升），
答：整个吊瓶的容积是150毫升．
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点评：
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本题第12分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键．
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12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
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考点：
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分析：
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根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．
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解答：
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解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．
如图：
所以最多能画出六条．
答：至多有6条直线．
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点评：
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根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．
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2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．（6分）如图 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD．取AB的中点M和BC的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）
2．（6分）2008006共有（ ）个质因数．
3．（6分）（2007·北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）
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A．
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星期一
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B．
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星期二
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C．
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星期六
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D．
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星期日
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4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
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A．
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6.36
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B．
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3.18
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C．
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2.12
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D．
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1.59
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6．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 _________ ·
8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 _________ 人．
9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为 _________ 立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 _________ 个．
11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田 _________ 亩，这批化肥有 _________ 千克．
12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=13579111315171921…9799101103．则数a共有 _________ 位，数a除以9的余数是 _________ ．
13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 _________ 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 _________ 张牌．
14．（3分）图中有 _________ 个正方形，有 _________ 个三角形．
2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．（6分）如图 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD．取AB的中点M和BC的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）
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考点：
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运用平移、对称和旋转设计图案．菁优网版权所有
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分析：
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此题可以动手操作，验证一下，即可解决问题．
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解答：
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解：找一张正方形纸片，按上述顺序折叠、剪切，展开后得到的图形如右图所示．
故选：D．
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点评：
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图形的折叠和剪切，可动手操作实践一下，也解决问题的好方法．
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2．（6分）2008006共有（ ）个质因数．
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考点：
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因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有
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分析：
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根据分解质因数的方法将所给数字进行分解质因数即可得出答案．
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解答：
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解：2008006=2×1004003=2×7×143429=2×7×11×13039=2×7×11×13×1003=2×7×11×13×17×59；
即：2008006=2×7×11×13×17×59；
所以2008006的有6个质因数：2、7、11、13、17、59．
故答案为：C．
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点评：
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此题主要考查的是分解一个合数的质因数．
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3．（6分）（2007·北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）
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A．
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星期一
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B．
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星期二
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C．
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星期六
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D．
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星期日
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考点：
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周期性问题．菁优网版权所有
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专题：
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压轴题．
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分析：
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2006年是平年365天，要想让一年中有53个星期日就要让这一年的第一天是星期日，除去第一天，还有364天，正好是7的倍数（52倍），这样2006年就是53个星期日了．那么接下来的2007年元旦就是新一个星期的开始，即星期一．
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解答：
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解：2006年有365天，而365=7×52+1，又已知2006年有53个星期日，元旦只能是星期日，且12月31日也是星期日，所以，2007年的元旦是星期一．
故选：A．
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点评：
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此题属于周期性问题，考查学生平年的知识以及推算能力．
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4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
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考点：
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路线图．菁优网版权所有
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分析：
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由题干，第一次相遇在B点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是5：4，那么相遇后再相遇，它们的路程比仍是5：4，令这个长方形的长和宽分别为5和4，由此即可解决问题．
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解答：
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解：由题意可得蚂蚁的速度之比是5：4，
所以从B点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是5：4
令这个长方形的长和宽分别为5和4，
（5+4）×2=9×2=18，
5+4=9，
18×=10，
所以第一只蚂蚁从B点爬了10，
因为BC+CD=4+5=9，
所以此时第一只蚂蚁已经经过C点D点，
所以它们是在DA边上相遇．
故选：D．
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点评：
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此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比，根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
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5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
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A．
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6.36
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B．
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3.18
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C．
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2.12
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D．
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1.59
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考点：
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三角形的周长和面积．菁优网版权所有
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分析：
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连接AE、BD，则得到：三角形PBD的面积=三角形PCD的面积，三角形EAD的面积=三角形EBD的面积=长方形ADEF的一半，由条件长方形ADEF为6.36平方厘米可以求得结果．
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解答：
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解：连接AE、BD，
三角形PBD的面积=三角形PCD的面积，
三角形EAD的面积=三角形EBD的面积=长方形ADEF的一半=6.36÷2=3.18（平方厘米），
故此题选B．
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点评：
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此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是做出合适的辅助线．
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6．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法．
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考点：
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排列组合．菁优网版权所有
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分析：
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首先来考虑全部的可能（即包含贝贝和妮妮相邻和不相邻）就有5×4×3×2×1=120种情况．然后来看贝贝和妮妮相邻的时候，把相邻的贝贝和妮妮看做一个整体，这样就有原先的五人排序变成四个人排序了，情况就有：4×3×2×1，贝贝在妮妮的左边或右边的时候，以上情况再乘以2，就是贝贝和妮妮相邻的情况，再用总情况的次数减去相邻的情况的次数就是他们不相邻去情况的次数．
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解答：
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解：5×4×3×2×1=120（种），
4×3×2×1×2=48（种），
120﹣48=72（种）；
故答案选：B．
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点评：
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排列的计算方法：有几个数进行排列排列的个数就是从这个数乘到1．
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二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 35 ·
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考点：
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竖式数字谜．菁优网版权所有
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分析：
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由届+赛=6可得届和赛为2、4或1、5或9、7；一+杯=0可得一和杯为1、9或2、8或3、7或4、6，还有可能（后面进1）是1、8或2、7或3、6或4、5；十+华=9（减去进的1）可得十和华为1、8或2、7或3、6或4、5；
“第”只能为1（减去进的1）．又因为不同的汉字代表不同的数字，所以“届和赛”只能为9和7（不与“第”重复，不与一和杯、十和华重复），“一和杯”、“十和华”为4和5或3和6（可以交换）．然后计算它们的和即可．
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解答：
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解：“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字和为：
1+3+4+5+6+7+9=35，
故答案为：35．
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点评：
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从“第”为1入手，根据算式特点层层推进，寻求答案．
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8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 23 人．
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考点：
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重叠问题．菁优网版权所有
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分析：
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这是一道有关重叠的问题，有三角尺的人数：50﹣28=22（人），那么有三角尺的女生则为22﹣14=8（人），有直尺的女生为31﹣8=23（人）．
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解答：
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解：31﹣（50﹣28﹣14），
=31﹣8，
=23（人）；
答：有直尺的女生有 23人．
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点评：
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这道题考查了有关重叠的问题，应该先算出有三角尺的总人数，再算出有三角尺的女生人数，最后算出直尺的女生人数．
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9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为 226.08 立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
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考点：
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规则立体图形的体积．菁优网版权所有
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分析：
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首先由当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最多能露出4厘米，可知圆柱的高BC为12﹣4=8厘米；再由最少可露出上底面边缘2厘米，由图可知圆柱的底面直径、高、AC（12﹣2=10厘米）构成直角三角形的三条边，利用“勾6、股8、弦10求得圆柱的底面直径AB为6厘米，由此利用圆柱的体积计算公式解决问题．
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解答：
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解：3.14×（6÷2）2×（12﹣4），
=3.14×32×8，
=3.14×9×8，
=226.08（立方厘米）；
答：这个玻璃杯的容积为226.08立方厘米．
故答案为：226.08．
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点评：
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此题主要把求玻璃杯的容积，转化为求圆柱的体积，结合图形，分析求出圆柱的高，进一步利用直角三角形的性质求得底面直径求得结论．
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10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4 个．
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考点：
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哈密尔顿圈与哈密尔顿链．菁优网版权所有
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分析：
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如下图所示：经过4次将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，就又回到第一次的结果了，说明4次一个循环，在这些图中，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4个．
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解答：
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解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4个．
故答案为：4．
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点评：
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此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
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11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田 500 亩，这批化肥有 2700 千克．
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考点：
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列方程解含有两个未知数的应用题．菁优网版权所有
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分析：
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设承包了麦田x亩，则化肥有6x﹣300千克，根据题意可得等量关系：化肥的总千克数（6x﹣300千克）﹣麦田的亩数×5千克=200千克，由此可得方程解决问题．
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解答：
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解：设承包了麦田x亩，则化肥有6x﹣300千克，根据题意可得，
6x﹣300﹣5x=200
x=500，
6x﹣300=6×500﹣300=2700（千克）；
答：李大爷共承包了麦田500亩，这批化肥有2700千克．
故答案为：500，2700．
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点评：
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此题是利用方程思想解决问题的方法的应用，题目中的两个等量关系一个用来设未知数，一个用来列方程，由此可以解决问题．
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12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=13579111315171921…9799101103．则数a共有 101 位，数a除以9的余数是 4 ．
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考点：
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奇偶性问题．菁优网版权所有
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分析：
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（1）要求a共有多少位，可以分段来解答，即一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，三位奇数有2个．
（2）从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环．
因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1﹣89恰为5个周期，
所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4．
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解答：
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解：（1）一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个5+2×45+3×2=101位数．（2）从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环．
因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1﹣89恰为5个周期，
所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4．
故答案为：101，4．
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点评：
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此题考查了数的奇偶性知识，此题可用列举法来进行解答．
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13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 27 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 37 张牌．
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考点：
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相等和值问题．菁优网版权所有
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分析：
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（1）每种点数的有4张，要有3个相邻的！则根据抽屉原理，首先要把所有不同的都能抽出来．
（2）首先，抽第1、2张是两张王牌．然后抽第3﹣15张是黑桃那13张牌，第16﹣28张是红心那13张牌，第29﹣41张是梅花那13张牌．这个时候，已经抽了41张牌了，剩下方块那13张牌．只要从这13张方块中任意抽1张，就必定有4张牌点数相同．
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解答：
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解：（1）可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9.10，11，12，13点各2张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．
（2）有以下的搭配：
（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12），13
因而对涂阴影部分得9个数，四种花色的牌都取，9×4=36（（张）牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．
现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少有33张牌取自（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12）这4个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的，因此，至少要取37张牌．
故自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要37张牌．
故答案为：27，37．
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点评：
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这是一道抽屉原理方面的练习题．
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14．（3分）图中有 91 个正方形，有 119 个三角形．
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考点：
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图形的密铺．菁优网版权所有
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分析：
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先观察图形后，首先数正方形个数，数完正方形的个数后，查三角形个数．
（1）有一个小正方形构成的正方形36个，有四个小正方形组成的正方形有25个，由9个小正方形组成的正方形有16个，由16个小正方形组成的正方形有9个，有25个小正方形组成的大正方形有4个，再加上由36个小正方形组成的大正方形1个，正方形共有91个；
（2）最小三角形有72个，有两个小三角形组成的三角形有28个，有四个小三角形组的三角形有12个，由9个小三角组成的三角形有6个，由16个小三角形组成的三角形有1个，因此三角形共有119个．
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解答：
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解：通过观察共有91个正方形，119个三角形．
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点评：
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本题考查平面图形数量的确定，比较简单，注意仔细地观察图形．
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2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每小题10分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．
1．（10分）算式等于（ ）
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A．
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1020
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B．
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204
|
C．
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273
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D．
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747
|
2．（10分）（2012·广州一模）折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要45分钟，则甲、乙两同学共同折需要（ ）
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A．
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12分钟
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B．
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15分钟
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C．
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18分钟
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D．
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20分钟
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3．（10分）（2012·郑州模拟）如图，将四条长为16cm，宽为2cm的长方形垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
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A．
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72cm2
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B．
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128cm2
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C．
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20cm2
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D．
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112cm2
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4．（10分）48名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，开票中途累计．甲得13票，乙得10票，丙得7票．得票多的人当选，则以后甲至少要再得（ ）票才能当选．
5．（10分）一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（ ）
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A．
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74
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B．
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148
|
C．
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150
|
D．
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154
|
6．（10分）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的三个数的积最大等于（ ）
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A．
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280
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B．
|
270
|
C．
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252
|
D．
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216
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二、填空题（每小题10分）．
7．（10分）如图，某公园有两段路AB=175米，BC=125米．在这两段路上安装路灯，要求A，B，C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等．则在这两段路上至少要安装路灯 _________ 个．
8．（10分）将×0.63的积写成小数的形式是 _________ ．
9．（10分）如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了 _________ 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 _________ ．
10．（10分）同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示．贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 _________ 种颜色的旗子．如果贝贝从某营地出发，（填“能”或“不能”）不走重复的路就 _________ 完成这项任务．
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．
1．（10分）算式等于（ ）
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A．
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1020
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B．
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204
|
C．
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273
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D．
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747
|
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考点：
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整数、分数、小数、百分数四则混合运算．菁优网版权所有
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|
专题：
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运算顺序及法则．
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|
分析：
|
把带分数化成小数，先算乘法、再算加法．
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|
解答：
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解：2×19.5+7.2×20，
=2.8×19.5+7.2×20.75，
=54.6+149.4，
=204．
故应选：B．
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|
点评：
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既有加减、又有乘除法，先算乘除法、再算加减．
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2．（10分）（2012·广州一模）折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要45分钟，则甲、乙两同学共同折需要（ ）
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|
A．
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12分钟
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B．
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15分钟
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C．
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18分钟
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D．
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20分钟
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考点：
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简单的工程问题．菁优网版权所有
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分析：
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把这批纸鹤的总量看成单位“1”甲的工作效率是，乙的工作效率是，它们的和是合作的工作效率，用总工作量除以合作的工作效率就是合作需要的时间．
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|
解答：
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解：1÷（），
=1，
=18（分钟）；
答：甲、乙两同学共同折需要18分钟．
故选：C．
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点评：
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此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做“1”，再利用它们的数量关系解答．
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3．（10分）（2012·郑州模拟）如图，将四条长为16cm，宽为2cm的长方形垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
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A．
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72cm2
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B．
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128cm2
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C．
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20cm2
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D．
|
112cm2
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考点：
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组合图形的面积；长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
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分析：
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桌面被盖住的面积，就是图中这个组合图形的面积：四个长方形的面积之和减去重叠部分的4个边长为2厘米的小正方形的面积．
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解答：
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解：16×2×4﹣2×2×4，
=128﹣16，
=112（平方厘米），
故选：D．
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点评：
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此题考查了组合面积的计算方法的灵活应用，这里要注意图中重叠部分的小正方形的面积要减去．
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4．（10分）48名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，开票中途累计．甲得13票，乙得10票，丙得7票．得票多的人当选，则以后甲至少要再得（ ）票才能当选．
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考点：
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逻辑推理．菁优网版权所有
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专题：
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逻辑推理问题．
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分析：
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甲比乙多了3张选票，已经统计了30张选票，还剩下18张没统计，假设这18张全部给甲和乙，只要乙的不比甲的多出3张或以上的选票甲就会当选．只要求出乙比甲多2张的情况即可．
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|
解答：
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解：48﹣（13+10+7）=18（张），
甲已经比乙多了：13﹣10=3（张），
若把这18张平均分给二人：
18÷2=9（张），每人9张，甲再给乙1张乙就比甲多2张，
甲分的数量9﹣1=8（张）
答：甲至少再得8张票才能当选．
故选：B．
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点评：
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甲和乙的票数较多，就考虑剩下的选票都给甲和乙，只要甲的总数比乙的总数多1张甲就可以当选．解决本题就从这两个方面考虑．
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5．（10分）一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（ ）
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|
A．
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74
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B．
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148
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C．
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150
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D．
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154
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考点：
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长方体和正方体的表面积．菁优网版权所有
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|
专题：
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立体图形的认识与计算．
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分析：
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根据长方体的棱长总和公式，长方体的棱长=（长+宽+高）×4，体积公式v=abh；已知它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，设出它的长、宽、高，列方程求出它的长、宽、高，再利用表面积公式解决问题．
|
|
解答：
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解：设长为x，则宽为x﹣1，高为x+1，
则体积为 V=x（x﹣1）（x+1），
而所有棱长和为4（x﹣1+x+x+1）=4（3x）=12 x，
所以由题意有 x（x﹣1）（x+1）=2（12x），
化简得x2=25，
x=5，
所以长方体的长为5，宽为4，高为6；
它的表面积是：（5×4+5×6+4×6）×2
=（20+30+24）×2
=74×2
=148；
答：这个长方体的表面积是148．
故选：B．
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|
点评：
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此题主要根据长方体的棱长总和与表面积的计算方法解决问题．
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6．（10分）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的三个数的积最大等于（ ）
|
|
A．
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280
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B．
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270
|
C．
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252
|
D．
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216
|
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考点：
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最大与最小．菁优网版权所有
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|
专题：
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传统应用题专题．
|
|
分析：
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先求出余下的数之和：55×=35，而和为55的10个不同的非零自然数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，所以取出的三个数的和是55﹣35=20，所以要使取出的三个数的积最大，三个数分别为5、7、8．
|
|
解答：
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解：因为余下的数之和：55×=35，
而和为55的10个不同的非零自然数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，
所以取出的三个数的和是55﹣35=20，
所以要使取出的三个数的积最大，三个数分别为5、7、8．
三个数的积最大是5×7×8=280；
故选：A．
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点评：
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关键是根据题意求出取出的三个数的和是20，再根据当和一定时，三个数相差的越少积就越大来确定三个数．
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二、填空题（每小题10分）．
7．（10分）如图，某公园有两段路AB=175米，BC=125米．在这两段路上安装路灯，要求A，B，C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等．则在这两段路上至少要安装路灯 13 个．
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考点：
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公因数和公倍数应用题．菁优网版权所有
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专题：
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约数倍数应用题．
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分析：
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要使ABC三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，求至少要安装路灯多少，则两个路灯间的距离是175和125的最大公因数，然后用175+125除以这个这个数加1，即可得解．
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解答：
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解：175=5×5×7，
125=5×5×5，
175和125的最大公因数是5×5=25，
（175+125）÷25+1
=7+5+1
=13（个），
答：在这两段路上至少要安装路灯13个．
故答案为：13．
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点评：
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灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题．
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8．（10分）将×0.63的积写成小数的形式是 3.4180180… ．
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考点：
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循环小数及其分类．菁优网版权所有
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分析：
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首先应把5.425425…写成和的形式，再与0.63相乘，然后把结果化成小数即可．
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解答：
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解：因为5.425425…=5+，
所以：5.425425…×0.63=5×0.63+0.63×=3.15+0.268018018…=3.4180180…（180循环）
故答案为：3.4180180．
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点评：
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此题考查了学生对循环小数以及循环节概念的理解．
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9．（10分）如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了 40 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 ．
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考点：
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组合图形的计数；三角形的周长和面积．菁优网版权所有
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专题：
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几何的计算与计数专题．
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分析：
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根据题干，第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×；据此把四次去掉的三角形的个数加起来就是去掉的三角形的总个数，再把去掉的边长加起来，即可求出去掉的所有的三角形的边长之和，即可解答问题．
|
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解答：
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解：第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；
第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×；
所以，四次共去掉1+3+9+27=40（个）小三角形，
去掉的所有三角形的边长之和是：3×+9×+27×+81×=12．
答：一共去掉了40个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 ．
故答案为：40；12．
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点评：
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解答此题的关键是根据切割的方法，得出每次去掉的三角形的个数和它们的边长．
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10．（10分）同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示．贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 3 种颜色的旗子．如果贝贝从某营地出发，（填“能”或“不能”）不走重复的路就 不能 完成这项任务．
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考点：
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排列组合；一笔画定理．菁优网版权所有
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专题：
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竞赛专题．
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分析：
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（1）从中间的三点考虑；
（2）从奇点的个数考虑，如果奇点的个数为偶数，不走重复的路就不能完成任务，如果奇点的个数为奇数，不走重复的路就能完成任务．
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解答：
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解：因为中间的三点连成一个三角形，这三点所代表的营地两两相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子，所以最少需要3种颜色的旗子．
因为本题共有6个奇点，即偶数个奇点，不走重复路线不能完成插旗的任务．
故答案为：3，不能．
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点评：
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此题考查了排列组合知识，以及一笔画定理：①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成．画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图；②凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点；③其他情况的图都不能一笔画出．（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成．）
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2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题．（毎小题10分．以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内．）
1．（10分）科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（ ）米．
2．（10分）将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（如图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（如图2）．将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（ ）
3．（10分）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（ ）个．
4．（10分）已知如图是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（ ）个．
5．（10分）若a=1515…15×333…3（有1004个15，有2008个3），则整数a的所有数位上的数字和等于（ ）
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A．
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18063
|
B．
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18072
|
C．
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18079
|
D．
|
18054
|
6．（10分）若，，，则有（ ）
|
|
A．
|
a＞b＞c
|
B．
|
a＞c＞b
|
C．
|
a＜c＜b
|
D．
|
a＜b＜c
|
二、填空题．（每小题10分，满分40分．第10题每空5分）
7．（10分）甲车从A，乙车从B同时相向而行，两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，甲乙两车的速度比为 _________ ．
8．（10分）华杯赛网址是www．huabeisai．cn．将其中的字母组成如下算式：
www+hua+bei+sai+cn﹣=2008．
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是 _________ ．
9．（10分）（2012·武汉模拟）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 _________ 平方厘米．
10．（10分）将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为5：4：3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，期中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 _________ （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 _________ 块．
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（毎小题10分．以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内．）
1．（10分）科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（ ）米．
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考点：
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简单的行程问题．菁优网版权所有
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专题：
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行程问题．
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分析：
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根据机器人只向南和向东行走，而且两个方向垂直，分别求出其实际向南所走路程和实际向东所走路程，利用勾股定理求得其终止点与源出发点之间的距离即可．
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解答：
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解：如下图所示：
聪聪实际向南走了1.2+1.8+1=4米，
实际向东走了1+2=3米，
因为正东方向与正南方向垂直，
又因32+42=52，
所以终止点与原出发点的距离为：5米；
所以B点与A点的距离是5米．
故选：C．
|
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点评：
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本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确求出实际向南和向东所走的路程，并利用勾股定理求解．
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2．（10分）将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（如图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（如图2）．将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（ ）
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考点：
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通过操作实验探索规律；图形的拼组；三角形的特性；等腰三角形与等边三角形．菁优网版权所有
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专题：
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创新题型；尝试法；平面图形的认识与计算．
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分析：
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充分利用想象法或实践操作法即可（直接想象即可得出答案或动手剪一剪）．
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解答：
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解：因为等边三角形是一个特殊的三角形，它的三条边相等，三个角相等，虚线是三边中点的连线，所以这样剪得话，右边相邻的三个小三角形的三个角同时被剪去了一个小角，而左边的一个小三角形被剪去了上边的一个小角，所以展开再铺开，就是A．
故选：A．
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点评：
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解题的关键是搞清楚等边三角形的特性，在想象或实际操作的基础上完成．
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3．（10分）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（ ）个．
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考点：
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图形的拆拼（切拼）．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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先将大长方形分为边长为423的正方形，可分为4个，然后剩下边长分别为141、423的一个小长方形再把小长方形分为边长为141的正方形，正好可分为3个4+3=7（个）所以答案为7个
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解答：
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解：1833÷423=4…141厘米，所以以长为边可以剪出4个最大的正方形，
423÷141=3，所以以宽为边可以在剩下的图形中的剪出3个最大的正方形，
所以最少分割4+3=7个正方形，如图：
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点评：
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一开始分边的时候，两边尽量接近，尽量使剪出的正方形最大，即可求出可以分割出的正方形的最少个数，由此逐步找出分割的方法．
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4．（10分）已知如图是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（ ）个．
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考点：
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轴对称图形的辨识；组合图形的计数．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
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解答：
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解：根据轴对称图形的意义可知，
若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，即把图形里面的3部分的黑点去掉，共有7种情况，
则其中轴对称的新图形共有7个．
故选：C．
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点评：
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掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
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5．（10分）若a=1515…15×333…3（有1004个15，有2008个3），则整数a的所有数位上的数字和等于（ ）
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A．
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18063
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B．
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18072
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C．
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18079
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D．
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18054
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考点：
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数字问题．菁优网版权所有
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专题：
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综合题．
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分析：
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由于1515…15=50505…05×3（505…05共1004×2﹣1=2007位数），由此原式=50505…05×3×333…3
=50505…05×999…9（505…05共2007位数，999…9共2008位数）据此根据凑整法进行分析解答即可．
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解答：
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解：1515…15×333…3
=50505…05×3×333…3，
=50505…05×999…9，（505…05共2007位数，999…9共2008位数）
=50505…05×（1000…000﹣1），
=50505…05000…000﹣50505…05，
=50505…050494949…49495；
（前面50505…0504共有2007位，中间9有1位，最后4949…49495共2007位）
前面5050505…04加最后4949…49495正好为2007个9，再算是中间的一个9，
因此所有数位上的和为9×2008=18072．
故选：B．
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点评：
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将1515…15进行分解根据凑整法算出得数进行计算是完成本题的关键．
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6．（10分）若，，，则有（ ）
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A．
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a＞b＞c
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B．
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a＞c＞b
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C．
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a＜c＜b
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D．
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a＜b＜c
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考点：
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分数的巧算．菁优网版权所有
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专题：
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计算问题（巧算速算）．
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分析：
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因b，a都是大于0的数，所以用除法比大小，如：a÷b=÷=×==＜1，所以a＜b；同理b＜c，即a＜b＜c．
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解答：
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解：a÷b=÷=×==＜1，所以a＜b；
b÷c=÷=×===＜1，所以b＜c；
所以a＜b＜c；
故选：D．
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点评：
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解救这类问题，应仔细观察，发现规律或技巧，灵活解答．
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二、填空题．（每小题10分，满分40分．第10题每空5分）
7．（10分）甲车从A，乙车从B同时相向而行，两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，甲乙两车的速度比为 1：2 ．
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考点：
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简单的行程问题；比的意义．菁优网版权所有
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分析：
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此题可以用设未知数的方法解答，设甲的速度为X，乙的速度为Y，相遇时间为Z，则=1，=4，两式相乘得Z=2，进一步解决问题．
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解答：
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解：设甲的速度为X，乙的速度为Y，相遇时间为Z，则：
=1，①
=4，②
①×②得Z=2，b
把Z=2代入①中，得=，即x：y=1：2．
答：甲乙两车的速度比为1：2．
故答案为：1：2．
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点评：
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当条件比较少时，可以用设未知数的方法解答．
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8．（10分）华杯赛网址是www．huabeisai．cn．将其中的字母组成如下算式：
www+hua+bei+sai+cn﹣=2008．
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是 103 ．
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考点：
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最大与最小．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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本题可以直接想整数的加法的计算法则：根据和的最高位是1，要使b﹣e﹣i的值最小，所以b只能是1，此时s=2，e是0，此时u=4，所i是3，此时n=5，据此推理可得u最大是7，据此即可解答．
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解答：
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解：因为w=8，h=6，a=9，c=7，
所以www+hua+bei+sai+cn=888+6u9+bei+s9i+7n=2008；
即6u9+bei+s9i+7n=1120；
所以649+103+293+75=1120；
所以三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是103；
故答案为：103．
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点评：
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和一定的情况下，根据加法计算法则和加法进位，进行推理即可解答．
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9．（10分）（2012·武汉模拟）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 1.8 平方厘米．
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考点：
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三角形面积与底的正比关系．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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因三角形AOM和三角形BOC的面积相等都是长方形面积的，可求出三角形AOM与三角形BON的面积的和，再用三角形ABP的面积减付出三角形ABO和三角形AOM和三角形BON的面积，就是四边形PMON的面积．据此解答．
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解答：
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解：要S△AOB=24÷4=6（平方厘米），
S△AOM+S△BON
=S△AOD+S△BOC﹣（S△ADM+S△BCN），
=24÷4+24÷4﹣7.8，
=6+6﹣7.8，
=4.2（平方厘米），
S四边形PMON
=S△ABP﹣S△ABO﹣（S△AOM+S△BON），
=24÷2﹣24÷4﹣4.2，
=12﹣6﹣4.2，
=1.8（平方厘米）．
答：四边形PMON的面积是1.8平方厘米．
故答案为：1.8．
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点评：
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本题的关键是根据是求出S△AOM+S△BON的面积．
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10．（10分）将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为5：4：3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，期中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 丙 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 150 块．
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考点：
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分数四则复合应用题．菁优网版权所有
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专题：
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分数百分数应用题．
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分析：
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根据题干，把这袋糖果的数量看作单位“1”，那么甲乙丙第一次分得的糖果数目分别占：，，，重新分配后甲乙丙分得的糖果数目分别占：，，，说明甲重新分配后糖果数目减少了，那么可得是丙比原来所得的数目多了15颗，由此可知这位小朋友是丙；
（2）由题意，可得糖果总数为15÷（﹣），然后根据甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，用按比例分配的方法，求出丙实际所得的糖果数．
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解答：
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解：（1）甲乙丙第一次分得的糖果数目分别占：，，，重新分配后甲乙丙分得的糖果数目分别占：， ， ，由此可以看出乙这两次分得的糖果数目一样， ＞ ，说明甲重新分配后糖果数目减少了，则丙比原来所得的数目多了15颗，由此可知这位小朋友是丙；
（2）15÷（﹣ ）× ，
=15÷ × ，
=15×36×，
=150（块）；
答：他实际所得的糖果数为150块．
故答案为：丙，150．
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点评：
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此题的关键是先根据前后各自所占总数的分率，确定出多得15块糖果的小朋友，然后求出糖果总数，用按比例分配的方法解决问题．
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2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题．(每小题10分，满分60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英语字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）下面的表情图片中．没有对称轴的个数为（ ）
2．（10分）开学前6天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60道题．开学时，两人都完成了数学作业，在这6天中，小明做的题的数目是小张的3倍，他平均每天做了（ ）道题．
3．（10分）按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个．
4．（10分）在19，197，2009这三个数中，质数的个数是（ ）
5．（10分）下面有四个算式：
①0.6+
=
②0.625=
③
+
=
=
=
④3
×4
=14
其中正确的算式是（ ）
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A．
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①和②
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B．
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②和④
|
C．
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②和③
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D．
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①和④
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6．（10分）A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→C，B→E，C→A，D→B，E→D，开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（ ）
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A．
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C与D
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B．
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A与D
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C．
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C与E
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D．
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A与B
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二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）下面的算式中同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字：
团团×圆圆=大熊猫
则“大熊猫”代表的数是 _________ ．
8．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：4、6、5
和4
，则原来给定的4个整数的和为 _________ ．
9．（10分）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC=弧CD=弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
10．（10分）在大于2009的自然数中，被57除后，商和余数相等的数共有 _________ 个．
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．(每小题10分，满分60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英语字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）下面的表情图片中．没有对称轴的个数为（ ）
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考点：
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轴对称图形的辨识．菁优网版权所有
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专题：
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图形与变换．
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分析：
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根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
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解答：
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解：根据轴对称图形的意义可知，
从左数，第1、2、5都是轴对称图形，第3、4、6、7、8不是；
故选：A．
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点评：
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掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
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2．（10分）开学前6天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60道题．开学时，两人都完成了数学作业，在这6天中，小明做的题的数目是小张的3倍，他平均每天做了（ ）道题．
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考点：
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差倍问题．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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依据题意可得：开学前6天，小强比小明多做60道题；小明做的题的数目是小张的3倍，也就是说60道题目相当于小张每天做题的1+3=4倍，依据除法意义即可解答．
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解答：
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解：60÷（1+3）
=60÷4
=15（道）；
答：他平均每天做了15道题．
故选：D．
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点评：
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解答此题的关键是确定单位“1”和求每天小明比小张多做题目时是标准量的几倍．从而求出标准量．
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3．（10分）按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个．
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考点：
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排列组合．菁优网版权所有
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专题：
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操作、归纳计数问题．
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分析：
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先得到一位数的号码的个数，再分别得到满足题意的十位数字是1，2，3，4，5的号码的个数，相加即可求解．
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解答：
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解：一位数的号码的有0∽9，个数为10；
十位数字是1，2，3，4，5的号码的个数有6×5=30；
共有10+30=40（个）．
故选：C．
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点评：
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考查了排列组合，注意按照一定个顺序查找，以免重复和遗漏．
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4．（10分）在19，197，2009这三个数中，质数的个数是（ ）
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考点：
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合数与质数．菁优网版权所有
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专题：
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数的整除．
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分析：
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在自然数中，除了1和它本身之外，没有别的因数的数为质数．据此完成．
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解答：
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解：很容易知道19为质数；
判断197是否是质数：197÷13=15…2，197÷17=11…10，所以197是质数；
判断2009是否是质数：2009=7×7×41，所以2009不是质数．
即19、197是质数，共有2个．
故选：C．
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点评：
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完成此类题目时，当数值较大时，要注意分解质因数来进行判断．
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5．（10分）下面有四个算式：
①0.6+
=
②0.625=
③
+
=
=
=
④3
×4
=14
其中正确的算式是（ ）
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|
A．
|
①和②
|
B．
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②和④
|
C．
|
②和③
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D．
|
①和④
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考点：
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小数与分数的互化；分数的加法和减法；分数乘法．菁优网版权所有
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专题：
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运算顺序及法则．
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分析：
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①循环小数加、减要根据“四舍五入”取其近似值再计算，0.6中的6不能与 中的循环节中的1相加，答案不正确．
②把分数 化成小数，用分子除以分母5÷8=0.625；或把小数0.625化成分数并化简是，答案正确．
③根据分数加、减法的计算法则，把异分数分母化成同分数分数再加、减，分子不变，只把分子相加、减，答案不正确．
④把两个带分数化成假分数再相乘，结果再化成带分数，正确．
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解答：
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解：①0.6+ = 不正确；
②0.625= 正确；
③ + = = = 不正确；
④3 ×4 =14 正确．
故选：B．
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点评：
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本题考查的知识点有小数的加减法、分数的加减法、分数的乘法、分数与小数的互化等．都是一些基础知识，一定要掌握．
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6．（10分）A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→C，B→E，C→A，D→B，E→D，开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（ ）
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A．
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C与D
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B．
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A与D
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C．
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C与E
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D．
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A与B
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考点：
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逻辑推理．菁优网版权所有
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专题：
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逻辑推理问题．
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分析：
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根据题意，A与C互相传，B、D、E之间则按B→E→D→B→…的顺序轮流传．开始时，两个福娃分别在A、B手上，其中A手上的福娃经过5轮的传递将到C的手里，B手上的福娃经过5轮的传递将到D的手里．所以传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是C和D．
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解答：
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解：由“A→C，B→E，C→A，D→B，E→D”可推出传递完5轮时的情况：
A→C→A→C→A→C，
B→E→D→B→E→D．
答：传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是C与D．
故选：A．
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点评：
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此题按照下面的箭头方向来推断，不难得出答案．
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二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）下面的算式中同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字：
团团×圆圆=大熊猫
则“大熊猫”代表的数是 968 ．
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考点：
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横式数字谜．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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首先根据题意可得两个两位数的积等于一个三位数，且这两个两位数的十位与个位相同，又由不同的汉字代表不同的数字，可得这两个数中不可能有11，则可知可能值只有：22×33与22×44，分析求解即可求得答案．
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解答：
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解：因为团团×圆圆=大熊猫，
即两个两位数的积等于一个三位数，
因为同一个汉字代表同一个数字，
所以这两个两位数的十位与个位相同，
因为不同的汉字代表不同的数字，
所以这两个数中不可能有11，
所以可能是：22×33=726（舍去），http://www./
22×44=968，
所以大表示数字9，熊表示数字6，猫表示数字8，
所以“大熊猫”代表的数是968；
故答案为：968．
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点评：
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此题考查了整数的十进制表示法的知识．此题难度较大，解题的关键是理解题意，得到两个两位数的积等于一个三位数，且这两个两位数的十位与个位相同，这两个数中不可能有11，可能的只有：22×33与22×44．
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8．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：4、6、5
和4
，则原来给定的4个整数的和为 10 ．
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考点：
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平均数问题．菁优网版权所有
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专题：
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平均数问题．
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分析：
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设四个数为a、b、c、d，根据题意可以列出四个方程，四个方程相加，即可得出a+b+c+d的值，解决问题．
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解答：
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解：设这四个数分别为a，b，c，d，由题意得：
（a+b+c）÷3d=4
①
（a+b+d）÷3c=6
②
（a+d+c）÷3b=5
③
d+b+c）÷3a=4 ④
①+②+③+④，得：
（3a+3b+3c+3d）÷3+（a+b+c+d）=20
（a+b+c+d）+（a+b+c+d）=20
2×（a+b+c+d）=20
a+b+c+d=10．
答：原4个数的和为10．
故答案为：10．
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点评：
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此题解答的关键在于设四个数为a、b、c、d，列方程解答．
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9．（10分）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC=弧CD=弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 2 平方厘米．
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考点：
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组合图形的面积．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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如图所示，连接OC、OD、OH，则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的 ，又因三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD的一半，从而可以求出阴影部分的面积．
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解答：
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解：连接OC、OD、OH，则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的 ，
又因三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD的一半；
12×× ，
=4×，
=2（平方厘米）；
答：图中阴影部分的面积是2平方厘米．
故答案为：2．
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点评：
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解答此题的关键是：作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系，是解答本题的关键．
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10．（10分）在大于2009的自然数中，被57除后，商和余数相等的数共有 22 个．
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考点：
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带余除法．菁优网版权所有
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专题：
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余数问题．
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分析：
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可设商和余数均为x，根据被除数大于2009可得不等式，求得x＞34 ；再根据余数小于除数可得x＜57，从而求得符合条件的数的个数．
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解答：
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解：设商和余数均为x，则
57x+x＞2009，
58x＞2009，
x＞34 ，
而x＜57，
所以，余数可以是35～56，
这样的数有56﹣35+1=22个．
故答案为：22．
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点评：
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考查了不等方程的分析求解，解题关键是得到商和余数的取值范围．
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2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的（ ）
2．（10分）两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）cm．
3．（10分）两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3：4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5：3．那么每个水池内有金鱼（ ）条．
|
|
A．
|
112
|
B．
|
168
|
C．
|
224
|
D．
|
336
|
4．（10分）从
，
，
，
，
中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与
最接近，去掉的两个数是（ ）
5．（10分）恰有20个因数的最小自然数是（ ）
|
|
A．
|
120
|
B．
|
240
|
C．
|
360
|
D．
|
432
|
6．（10分）如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点．若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有（ ）个．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）算式
+
的值为
，则m+n的值是 _________ ．
8．（10分）“低碳生活”从现在做起，从我做起．据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨．如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克．某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二气化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有 _________ 万户．（保留整数）
9．（10分）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是 _________ ．
10．（10分）如图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C．小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米．开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接．若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了 _________ 秒钟．
2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的（ ）
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考点：
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平行四边形的面积．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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由题中条件可得平行四边形中两边的阴影面积相等，则求解一个阴影的面积及平行四边形的面积即可得出两者之间的关系．
|
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解答：
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解：每个空白正六边形能分成六个相同的正三角形，
所以空白部分总共包含12个这样的正三角形；
而整个大平行四边形能分成24个这样的正三角形，
所以空白部分占整个平行四边形的一半，
那么阴影部分也占整个平行四边形的一半．
故选：A．
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|
点评：
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本题主要考查的平行四边形的性质及利用分割的方法解决问题．
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2．（10分）两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）cm．
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考点：
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不等方程的分析求解．菁优网版权所有
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专题：
|
传统应用题专题．
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分析：
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设剪下的长度为x厘米，则较长的一条剩余（23﹣x）厘米，较短的一条剩余（15﹣x）厘米，由“剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍”，列出不等式：23﹣x≥2（15﹣x），解此不等式即可．
|
|
解答：
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解：设剪下的长度为x厘米，得：
23﹣x≥2（15﹣x）
23﹣x≥30﹣2x
x≥7．
答：剪下的长度至少是7厘米．
故选：B．
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点评：
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把剪下的长度作为未知数，根据数量关系，列出不等式，解决问题．
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3．（10分）两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3：4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5：3．那么每个水池内有金鱼（ ）条．
|
|
A．
|
112
|
B．
|
168
|
C．
|
224
|
D．
|
336
|
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考点：
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比的应用．菁优网版权所有
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专题：
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比和比例应用题．
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分析：
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池中鱼的条数相等，亮亮捞到第一个水池里金鱼数目的 ，捞到第二个水池里金鱼数目的 ，而第一次比第二次少捞了33条，也就是占每一个水池金鱼的（﹣），根据分数除法的意义列式解答即可．
|
|
解答：
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解：33÷（﹣）
=33÷
=168（条）；
答：每个水池内有金鱼168条．
故选：B．
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点评：
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解答此题抓住不变的数量，同一单位“1”，利用变化的数量找出对应分率解决问题．
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4．（10分）从
，
，
，
，
中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与
最接近，去掉的两个数是（ ）
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考点：
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巧算分数和．菁优网版权所有
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专题：
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计算问题（巧算速算）．
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分析：
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这五个分数的总和为1.45，而 ≈0.857，前者比后者大0.593，所以题目即需要从前面五个分数中选出两个，使他们的和最接近 0.593，比较后可得应选 和 ．
|
|
解答：
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解： +++ + = + +=1=1.45，
 ≈0.857，
1.45﹣0.857=0.593，
所以题目即需要从五个分数中选出两个，使他们的和最接近 0.593，比较后可得应选 和 ．
故选：D．
|
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点评：
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先求出五个分数的和，然后用和减去，得出一个差，看看那两个分数的和与这个差最接近．
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5．（10分）恰有20个因数的最小自然数是（ ）
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A．
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120
|
B．
|
240
|
C．
|
360
|
D．
|
432
|
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考点：
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约数个数与约数和定理．菁优网版权所有
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|
分析：
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首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．
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|
解答：
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解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；
四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．
故选：B．
|
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点评：
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此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．
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6．（10分）如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点．若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有（ ）个．
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考点：
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组合图形的计数．菁优网版权所有
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专题：
|
几何的计算与计数专题．
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分析：
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根据两条平行线间的距离处处相等，只需在BC的两侧各找一个符合面积等于3cm的点，然后作平行线即可找到所有的点．
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|
解答：
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解：如图所示，在BC的两侧找到点A、D，使△ABC和△BCD的面积都是3，再过点A、D分别作BC的平行线即可．
共有8个符合条件的格点．
故选：C．
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点评：
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此题考查了两条平行线间的距离处处相等的性质．
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二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）算式
+
的值为
，则m+n的值是 50 ．
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考点：
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繁分数的化简；含字母式子的求值．菁优网版权所有
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专题：
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计算问题（巧算速算）．
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分析：
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先根据繁分数化简的方法，求出运算的结果，得出m和n的值，再进一求解．
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解答：
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解：+
= +
= +
= ；
所以m=29，n=21；
m+n=29+21=50．
答：m+n的值是50．
故答案为：50．
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点评：
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解决本题关键是正确的化简繁分数，得出m、n的值，从而得解．
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8．（10分）“低碳生活”从现在做起，从我做起．据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨．如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克．某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二气化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有 556 万户．（保留整数）
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考点：
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整数、小数复合应用题．菁优网版权所有
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|
专题：
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简单应用题和一般复合应用题．
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分析：
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先计算出25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳的重量，即25000×14=350000吨，再除以3×21千克，问题即可得解．
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|
解答：
|
解：25000×14=350000（吨）=350000000（千克）
350000000÷（3×21）
=350000000÷63
≈556（万户）
答：该市家庭约有 556万户．
故答案为：556．
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点评：
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先计算出25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳的重量，是解答本题的关键．
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9．（10分）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是 6 ．
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考点：
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数字问题．菁优网版权所有
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|
专题：
|
传统应用题专题．
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|
分析：
|
根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由于2010的各位数字之和为3，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉6．
|
|
解答：
|
解：加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．
由于2010的各位数字之和为：2+0+1+0=3，
0+1+2+…+9
=（1+9）÷2
=45；
45是9的倍数，3还要加上6才是9的倍数，所以应该从中去掉6．
故答案为：6．
|
|
点评：
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本题关键是理解“加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和相差9的整数倍”．
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10．（10分）如图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C．小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米．开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接．若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了 2.1 秒钟．
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考点：
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简单的行程问题．菁优网版权所有
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|
专题：
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行程问题．
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|
分析：
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要求用多少时间，就要理解本题的等量关系，本题中注意在AC轨道上，如果变轨开关突然改成AB轨道，也会走到A点再走AB轨道．
|
|
解答：
|
解：第一分钟走10米．这样走AC轨道，经过了3次A点，距离A点1米，然后开通AB轨道，会向A点前进，就是说要在1.2分钟才能第4次经过4次A点，在经过0.8分钟，会经过10×0.8÷1.5会经过5次，还会超过A点0.5米，再开通AC轨道，只需0.1分钟就能走完AB轨道再从AC轨道前进．所以一共要走的距离为4×3+6×1.5=21米．
设需要时间为x，则得到方程：
10x=21
1x=2.1
答：需要时间为2.1分钟．
故答案为：2.1．
|
|
点评：
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本题关键是要读懂题目的意思，分析出每一次变轨都是要到A点之后变轨，这样问题迎刃而解．
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2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）
|
|
A．
|
100
|
B．
|
101
|
C．
|
102
|
D．
|
103
|
2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：
现在，去掉“
”的左下侧一根，就成了数字“
”，我们称“”对应1；去掉“
”的上下两根和左下角一根，就成了数字“
”，我们称“”对应3，规定“
”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （ ）个不同的数字．
3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）
4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘“四个人”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没晚自习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5个人中复习数学的有（ ）个人．
5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小的格点是（ ）
6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用
小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（ ）小时．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有 _________ 个．
8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需 _________ 分钟．
9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为 _________ 平方厘米．
10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数
的最大值是 _________ ．
三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题）
11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里， _________ 时刻时针和分针靠的最近， _________ _________ 时刻时针和分针靠得最远．
12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°没意义．问，7位数转180°后不变的有 _________ 个，其中能被4整除的有 _________ 个，这些转180°后不变的7位数的总和是 _________ ．
2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）
|
|
A．
|
100
|
B．
|
101
|
C．
|
102
|
D．
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103
|
|
考点：
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最大与最小；合数与质数．菁优网版权所有
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|
专题：
|
传统应用题专题．
|
|
分析：
|
因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2，所以题中给出的四个选项中只有102满足条件．
|
|
解答：
|
解：因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2，
102÷4=25…2，
所以四个选项中只有102满足条件．
故选：C．
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点评：
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关键是明白任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2．
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2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：
现在，去掉“
”的左下侧一根，就成了数字“
”，我们称“”对应1；去掉“
”的上下两根和左下角一根，就成了数字“
”，我们称“”对应3，规定“
”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （ ）个不同的数字．
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考点：
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火柴棒问题．菁优网版权所有
|
|
专题：
|
传统应用题专题．
|
|
分析：
|
原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，这里面只含有2、3、4、5、6、7，共6个不同的数字，取得根数只能从这6中数字里面取，所以对应的也有6不同的数字；据此解答．
|
|
解答：
|
解：原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，
这里面只含有2、3、4、5、6、7，
共6个不同的数字，所以对应的也有6不同的数字；
故选：C．
|
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点评：
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本题没必要意义列举出来所有数的对应数，只要换个角度找到所取根数的范围数（2、3、4、5、6、7），即可得出答案．
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3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）
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考点：
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和倍问题．菁优网版权所有
|
|
专题：
|
和倍问题．
|
|
分析：
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根据题意，可以把较大的数称为甲，较小的数称为乙．由题意可知甲是乙的6倍，甲加上乙等于6，由和倍公式就可以求出乙数是6÷（6+1）= ，再根据题意求出甲数，然后就可以求出这两个数的积和差，然后相减即可．
|
|
解答：
|
解：可设较大的数为甲，较小的数为乙．
由差倍公式可得乙是：6÷（6+1）=，
那么甲是：×6= ；
两个数的积是：×= ，
两数之差为：﹣= = ，
则： ﹣ = ；
故选：D．
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点评：
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根据题意，可以得出这两个数的和倍关系，根据和倍公式求出这两个数，就很容易求出这两个数的积与差．
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4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘“四个人”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没晚自习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5个人中复习数学的有（ ）个人．
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考点：
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逻辑推理．菁优网版权所有
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专题：
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逻辑推理问题．
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分析：
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根据题干：复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．可知五个人中只有一个人是对的．我们可以分别假定这五个同学中有一个说的是真话，来进行分析判断．
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解答：
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解：假设张说的是真话，没有人复习数学，但这与老师知道，他们昨天下午是有人复习的条件是不相符合的，故假设错误．
假设李说的话是真话，只有一个人复习数学，说明只他一个人复习了数学，其它同学都没有复习，其它同学都说了谎，符合题意．
假设五说的话是真话，只有二个人复习数学，那么五个同学中另个一个复习的同学也应该说有二个人复习了数学，但其它同学中没有说有二个人复习数学的，说明五说的是谎话．
同理，假设赵、刘说的是真话的话，其它复习的同学也应该与他们说的人数是一致的，但是没有，说明他们说的也是谎话．
故选：C．
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点评：
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解题的关键是从五个人说话的不同可知：五个人中只有一个人是对的进行分析．
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5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小的格点是（ ）
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考点：
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最大与最小．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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|
分析：
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看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q，再看蚂蚁所在的行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N．
|
|
解答：
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解：要判断出所用时间总和最小的格点，
必须看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q，
再看蚂蚁所在的行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N．
故选：B．
|
|
点评：
|
关键是根据题意判断处于中间的点是哪个即可．
|
6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用
小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（ ）小时．
|
考点：
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简单的工程问题．菁优网版权所有
|
|
专题：
|
工程问题．
|
|
分析：
|
增加3台计算机，时间是原定的75%，工效就是原定的1÷75%= ，则原来有3÷（﹣1）=9台机器；减少3台计算机，则是用6台计算机录入，原定时间× ÷（ ﹣ ），解决问题．
|
|
解答：
|
解：原有机器：
3÷（1÷75%﹣1），
=3÷ ，
=9（台）；
原定时间：
 ×÷（ ﹣），
= ÷ ，
= （小时）；
答：原定完成录入这部书稿的时间是 小时．
故选：A．
|
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点评：
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此题解答的关键是求出原来和后来计算机的数量，进而求出工作效率，解决问题．
|
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有 8 个．
|
考点：
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组合图形的计数．菁优网版权所有
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|
专题：
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几何的计算与计数专题．
|
|
分析：
|
正六边形的中心到各边连线段都相等，都等于边长，即正六边形可分为6个相等的正三角形；所以每个小的三角形面积为1；而题目要求得到的等边三角形面积为4，所以边长就要为刚才小的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边之比的平方”）；很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形，而面积刚好是4，4×2=8个
|
|
解答：
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解：因为正六边形可分为6个相等的正三角形，
所以每个小的三角形面积为1，而要得到的等边三角形面积为4，所以边长就要为刚才小的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边之比的平方”）；
很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形，
而面积刚好是4，
4×2=8（个）；
故答案为：8．
|
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点评：
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了解正六边形的一些性质，和面积的求法是解答此题的关键．
|
8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需 432 分钟．
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考点：
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相遇问题．菁优网版权所有
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|
专题：
|
行程问题．
|
|
分析：
|
相遇后，甲还需要3小时返回甲地，第二次相遇时，甲距离相遇点的距离等于甲2.5小时的路程，乙用了3.5小时走这些路程，所以甲乙速度的比是7：5，甲乙相遇需要3小时，那么乙单独到需要180×12÷5=432分钟．
|
|
解答：
|
解：（3+0.5）：（3﹣0.5）=7：5，
3小时=180分钟
180×（7+5）÷5
=2160÷5
=432（分钟）
答：乙从A到B共需432分钟．
故答案为：432．
|
|
点评：
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本题主要考查相遇问题，根据第二次相遇时间求出速度的比是解答本题的关键．
|
9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为 65 平方厘米．
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考点：
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组合图形的面积．菁优网版权所有
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|
专题：
|
平面图形的认识与计算．
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|
分析：
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根据图形可知△ABM和△EFM的面积相等，△CDN和△EFN的面积相等，△EFM和△EFN的面积和是EF×（MO+NO）÷2．然后再用平行四边形的面积减去2倍的，△EFM和△EFN的面积和，就是阴影部分的面积．据此解答．
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解答：
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解：根据以上分析知阴影部分的面积是：
117﹣（S△EFM+△EFN）×2，
=117﹣[EF×（MO+NO）÷2]×2，
=117﹣[13×4÷2]×2，
=117﹣26÷2×2，
=117﹣52，
=65（平方厘米）．
故答案为：65．
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点评：
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本题的关键是把空白图形的面积转化为两个四边形EMFN的和，然后再进行计算．
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10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数
的最大值是 1769 ．
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考点：
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竖式数字谜；最大与最小．菁优网版权所有
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专题：
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填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
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分析：
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要使四位数“华杯初赛”取得最大值，先确定“华”的值，进一步确定“杯”“初”和“赛”值，据此再利用弃九法推算即可解决问题．
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解答：
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解：观察题干，很显然华=1，一共有9个数字，所以0到9之间有一个不能用，根据弃九法，5不能用，每进一位数字之和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9﹣（2+0+1+1）=36，所以共进4位，即个位与十位之一需要进2，有两种可能：（1）个位数字之和是11，十位数字之和是20，百位数字之和是8；
（2）个位数字之和是21，十位数字之和是9，百位数字之和是9；
为了让四位数 的值最大，“杯”应该尽量的大，“十”尽量的小，
“十”最小2，此时“杯”是7；
则剩下的数字是0、3、4、6、8、9，个位和是21时，显然4+8+9=21；
个位和是9，则剩下的正好0+3+6=9，所以这个四位数最大是1769．
答：这个四位数最大是1769．
故答案为：1769．
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点评：
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此题主要抓住四位数为最大值，首先确定千位数和百位数字，进一步由数字特点逐步推出其他数字，使问题得以解决．
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三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题）
11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里， 6：33 时刻时针和分针靠的最近， 6： 30 时刻时针和分针靠得最远．
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考点：
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时间与钟面．菁优网版权所有
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专题：
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时钟问题．
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分析：
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分针每分钟走360÷60﹣=6度，时针每分钟走6×5÷60=0.5度，分别求出6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35，时针和分针走的度数，再比较它们之间的差，据此解答．
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解答：
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解：6时30分=390分，6时31分=3911分，6时32分=392分，6时33分=393分，6时34分=394，6时35分=395分
分针每分钟走
360÷60﹣=6（度），
时针每分钟走
6×5÷60=0.5（度），
6：30时针与分针之间的度数：
390×0.5﹣30×6=15（度）；
6：31时针与分针之间的度数：
391×0.5﹣31×6=9.5（度）；
6：32时针与分针之间的度数：
392×0.5﹣32×6=4（度）；
6：33时针与分针之间的度数：
33×6﹣393×0.5=1.5（度）；
6：34时针与分针之间的度数：
34×6﹣394×0.5=7（度）；
6：35时针与分针之间的度数：
35×6﹣395×0.5=12.5（度）；
1.5＜4＜7＜9.5＜12.5＜15，所以6.33时时针和分针最近，6.30时时针和分针靠的最远．
故答案为：6：33，6：30．
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点评：
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本题的关键是求出时针与分针在不同时刻时两针之间的度数，再进行解答．
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12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°没意义．问，7位数转180°后不变的有 300 个，其中能被4整除的有 75 个，这些转180°后不变的7位数的总和是 1959460200 ．
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考点：
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数字问题．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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根据题干分析可得，这个7位数 ，旋转180度后不变，说明这个7位数是由0、1、8组成的，据此分别列举即可，再根据被4整除的数字特征解答问题．
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解答：
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解：（1）若7位数 转 180°后不变，那么D一定是 0、1、8 中的一个，C 和 E、B 和 F、A 和 G，这三组每组内两个数字只能同时为 0、1 或 8，或者一个6，一个 9，这样只需要确定A、B、C、D这四个数字即可，
所以7位数转180°后不变的共有4×5×5×3=300（个）．
（2）在这其中能被4 整除的数末两位数只能是 00、08、16、60、68、80、88、96，
其中末尾为 00、80、60 的数转180°后首位为0，矛盾，排除．
所以其中能被4整除的数有
5×3×5=75（个）．
（3）A、G 这个位置上 1、8、6、9 各出现了 5×5×3=75（次），
B、C、E、F 这两个位置上，所有数字各出现 4×5×3=60 次，D 这个位置上，0、1、8 各出现 4×5×5=100 次，
所以所有转180°后不变的7位数的总和是：
24×75×1000001+24×60×110110+9×100×1000=1959460200．
答：7位数转180°后不变的有300个，其中能被4整除的有75个，这些转180°后不变的7位数的总和是1959460200．
故答案为：300；75；1959460200．
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点评：
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首先根据0、1、8以及6与9旋转前后的位置关系，明确这几个自然数的位置和每个数字出现的情况数是完成本题的关键．
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2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每小题3分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．（3分）计算：[（0.8
）×24+6.6]
﹣7.6=（ ）
2．（3分）以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有〔〕个三角形．
3．（3分）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只．有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只．
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A．
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240
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B．
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248
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C．
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420
|
D．
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842
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4．（3分）图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ）
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A．
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1，2
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B．
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2，3
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C．
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3，4
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D．
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4，5
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5．（3分）在图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（ ）
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A．
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369
|
B．
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396
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C．
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459
|
D．
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549
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6．（3分）如图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ ）
二、填空题（每小题3分，满分12分）
7．（3分）如图的计数器三个档上各有10个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是 _________ ．
8．（3分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3：0或3：1．则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3：2，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则笫一名的得分是 _________ 分．
9．（3分）甲、乙两车分别从A、B两地同吋出发，且在人禱也住返来回勻速行驶．若两车笫一次相遇后，甲车继续行驶4小吋到达B，而乙车只行驶了1小吋就到达A，则两车笫15次（在A，B两地相遇次数不计）相遇吋，它们行驶了 _________ 小吋．
10．（3分）正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为64平方厘米．如图所示，边BC落在EH上．己知三角形ACG的面积为6.75平方厘米，则三角形ABE的面积为 _________ 平方厘米．
2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．（3分）计算：[（0.8
）×24+6.6]
﹣7.6=（ ）
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考点：
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整数、分数、小数、百分数四则混合运算．菁优网版权所有
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专题：
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运算顺序及法则．
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分析：
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先算小括号内的，再算中括号内的乘法，然后算中括号内的加法，最后算括号外的除法和减法．
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解答：
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解：[（0.8 ）×24+6.6] ﹣7.6
=[（0.8+0.2）×24+6.6]﹣7.6
=[1×24+6.6]﹣7.6
=30.6﹣7.6
=30.6× ﹣7.6
=47.6﹣7.6
=40．
故选：B．
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点评：
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此题考查了分数的四则混合运算，注意运算顺序和运算法则．
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2．（3分）以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有〔〕个三角形．
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考点：
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组合图形的计数．菁优网版权所有
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专题：
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几何的计算与计数专题．
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分析：
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如下图：4个小的三角形，再就是由两个三角形组成的大三角形，有4个，所以一共有8个，据此解答．
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解答：
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解：4+4=8（个）
故选：D．
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点评：
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本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．
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3．（3分）一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只．有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只．
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A．
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240
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B．
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248
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C．
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420
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D．
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842
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考点：
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百分数的实际应用．菁优网版权所有
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专题：
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分数百分数应用题．
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分析：
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仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，由“有20%的猫认为它们是狗”，那么有80%的猫认为自己是猫，而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度问题，狗和猫的数量之比是：（80%﹣32%）：（32%﹣20%）=4：1，而狗比猫多180只，所以狗的数量为：180÷（4﹣1）×4，解决问题．
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解答：
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解：狗和猫的数量之比是：
（1﹣20%﹣32%）：（32%﹣20%），
=48%：12%，
=4：1；
狗的数目为：
180÷（4﹣1）×4，
=180÷3×4，
=60×4，
=240（只）；
答：狗的数目是240只．
故选：A．
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点评：
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将此题转化为浓度问题，首先根据已知条件求出狗与猫数量之比是完成本题的关键．
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4．（3分）图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ）
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A．
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1，2
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B．
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2，3
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C．
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3，4
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D．
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4，5
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考点：
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正方体的展开图．菁优网版权所有
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专题：
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立体图形的认识与计算．
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分析：
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根据正方体展开图的11种特征，只有把4、5或3、5阴影，才能与已涂阴影的4个正方形组成正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构．
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解答：
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解：如图，
故选：D．
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点评：
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正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
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5．（3分）在图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（ ）
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A．
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369
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B．
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396
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C．
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459
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D．
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549
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考点：
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竖式数字谜．菁优网版权所有
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专题：
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填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
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分析：
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根据题干，和的最高位最小是3，若H=3，则A和D分别是1和2，则剩下的数字是4、5、6、7、8、9，个位与十位的数字怎么排，都会发生进位，则H不能是3，那么H只能最小是4，A和D还是1和2，则剩下的数字是3、5、6、7、8、9，明显可知相加时十位要向前一位进1，又因为每个数字表示的数字不同，所以经过计算实验可得：73+86=59，即本题和最小是173+286=459，据此即可选择．
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解答：
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解：根据题干分析可得：
答：和的最小值是459．
故选：C．
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点评：
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本题考查学生的加法的计算熟练程度，能激起学生学习的兴趣，本题计算量稍大，还要注意满足不同字母表示不同的数字的条件，是个好题．
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6．（3分）如图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ ）
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考点：
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组合图形的计数．菁优网版权所有
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专题：
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几何的计算与计数专题．
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分析：
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因为所有的正方形都是斜着的，所以先数边长为1的正方形有2+4+6+8+8+6+4+2=40；边长为2的正方形有1+3+5+7+5+3+1=25个，边长为3的正方形有2+4+4=2=12个，边长为4的正方形有1+3+1=5个，还有一个大正方形，据此解答．
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解答：
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解：边长为1的正方形有2+4+6+8+8+6+4+2=40；
边长为2的正方形有1+3+5+7+5+3+1=25个，
边长为3的正方形有2+4+4+2=12个，
边长为4的正方形有1+3+1=5个，
还有一个大正方形；
共有：40+25+12+5+1=83个．
故选：A．
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点评：
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注意数数时，要按照一定的顺序，不能重复和遗漏．
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二、填空题（每小题3分，满分12分）
7．（3分）如图的计数器三个档上各有10个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是 925 ．
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考点：
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数字问题．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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因为上面三位数是下面三位数的倍数，假设下面三位数为abc，则上面三位数表示为k·abc．计数器三个档上各有10个算珠，所以上下两数之和为（k|1）abc=|00×10|10×10|1×10=1110，把1110分解质因数：1110=2×3×5×37，因为上面的各位数字互不相同，所以下面的数可以是5×37﹣185，上面的数是185×（2×3﹣1）=925．
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解答：
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解：设下面三位数为abc，则上面三位数表示为k·abc．
上下两数之和为（k|1）abc=|00×10|10×10|1×10=1110，
1110=2×3×5×37，
因为上面的各位数字互不相同，所以下面的数可以是5×37﹣185，
上面的数是185×（2×3﹣1）=925．
故答案为：925．
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点评：
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此题解答的关键在于求出上下两数之和，运用分解质因数的方法，进而解决问题．
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8．（3分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3：0或3：1．则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3：2，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则笫一名的得分是 6 分．
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考点：
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握手问题；整数的裂项与拆分．菁优网版权所有
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专题：
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可能性；整数的分解与分拆．
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分析：
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根据握手问题可知：四支队单循环赛，共有6场比赛，无论每场的结果如何，每场的得分之和是3分；那么总得分是：3×6=18（分），把18分解成3个连线的自然数的和即可求解．
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解答：
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解：一个赛：4×（4﹣1）÷2=6（场）；
总分：6×3=18（分）
3+4+5+6=18，
所以最高的6分．
答：笫一名的得分是6分．
故答案为：6．
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点评：
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本题先根据单循环赛制，求出总的比赛场次，进而求出总得分，再把总得分进行分解即可．
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9．（3分）甲、乙两车分别从A、B两地同吋出发，且在人禱也住返来回勻速行驶．若两车笫一次相遇后，甲车继续行驶4小吋到达B，而乙车只行驶了1小吋就到达A，则两车笫15次（在A，B两地相遇次数不计）相遇吋，它们行驶了 86 小吋．
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考点：
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多次相遇问题．菁优网版权所有
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专题：
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综合行程问题．
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分析：
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设两车出发t小时相遇，甲的速度是v1，乙的速度是v2，由题意得：4v1=tv2，（t+4）v1=（t+1）v2，解得t=2．所以跑完全程甲要6小时，乙要3小时，巧的是甲跑完一趟，乙就跑完整个来回，所以A、B两地相遇次数不计时，6小时就相遇一次，相向出发2小时候相遇，同向出发4小时相遇，第15趟是相向出发，6×14+2=86（小时）．
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解答：
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解：设两车出发t小时相遇，甲的速度为v1，乙的速度为v2，则：
4v1=tv2，
（t+4）v1=（t+1）v2，
解得t=2．
所以跑完全程甲要6小时，https://www.乙要3小时，A、B两地相遇次数不计时，6小时就相遇一次，相向出发2小时候相遇，同向出发4小时相遇，第15趟是相向出发，则两车笫15次相遇吋，它们行驶了：
6×（15﹣1）+2
=6×14+2
=84+2
=86（小时）
答：两车笫15次相遇吋，它们行驶了86小吋．
故答案为：86．
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点评：
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此题解答的关键在于求出第一次的相遇时间，从而得出：A、B两地相遇次数不计时，6小时就相遇一次，相向出发2小时候相遇，同向出发4小时相遇，进而解决问题．
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10．（3分）正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为64平方厘米．如图所示，边BC落在EH上．己知三角形ACG的面积为6.75平方厘米，则三角形ABE的面积为 2.25 平方厘米．
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考点：
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三角形的周长和面积．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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延长AB与FG交于M，如图所示，设正方形ABCD的面积求出边长a，EB=b，CH=c，用CH+BC表示出BH，即为MG，由三角形ABC的面积+直角梯形BCGM的面积﹣三角形AMG的面积=三角形ACG的面积https://www.，分别利用梯形的面积公式，三角形的面积公式及已知三角形ACG的面积列出关系式，由正方形ABCD的面积为9，求出a2的值为9，整理后将a2的值代入，得到 ab的值，即为三角形ABE的面积．
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解答：
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解：延长AB与FG交于点M，如图所示：
设正方形ABCD的边长为a厘米，EB=b厘米，CH=c厘米，
则AB=BC=a厘米，BM=EH=EB+BC+CH=（a+b+c）厘米，MG=BH=（a+c）厘米，
因为S△ACG=S△ABC+S梯形BCGM﹣S△AMG=6.75，
所以 a2+（a+b+c）（2a+c）﹣（2a+b+c）（a+c）=6.75，
整理得：a2+ab=6.75，
又正方形ABCD的面积为9平方厘米，即a2=9，
所以S△ABE=AB·EB=ab=6.75﹣×9=6.75﹣4.5=2.25（平方厘米）．
答：三角形ABE的面积为 2.25平方厘米．
故答案为：2.25．
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点评：
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此题也可以这样解：
连接EG，可知EG∥AC，
所以S△ACE=S△ACC=6.75，
则S△ABE=S△ACE﹣SABC=6.75﹣4.5=2.25．
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2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75=（ ）
2．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（ ）岁．
3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
4．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．
5．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（ ）平方厘米．
6．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（ ）立方米的水．
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A．
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0.9
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B．
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1.8
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C．
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3.6
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D．
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7.2
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二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了 _________ 张；小华拿了 _________ 张；小刚拿了 _________ 张．
8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有32人上班，那么该公司至少需要 _________ 名工作人员．
9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE=45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于 _________ 平方厘米（取π=3.14）?
10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有 _________ 种不同的选择．
2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75=（ ）
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考点：
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四则混合运算中的巧算．菁优网版权所有
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专题：
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计算问题（巧算速算）．
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分析：
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把2012.25看作2010.25+2，2015.75看作2013.75+2，原式变为（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），进一步计算为2×2013.75﹣2010.25×2，再运用乘法分配律简算．
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解答：
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解：2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75，
=（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），
=2010.25×2013.75+2×2013.75﹣2010.25×2013.75﹣2010.25×2，
=2×2013.75﹣2010.25×2，
=（2013.75﹣2010.25）×2，
=3.5×2，
=7；
故选：C．
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点评：
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完成此题，注意分析数据，通过对数字拆分，运用运算定律，灵活简算．
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2．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（ ）岁．
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考点：
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数的整除特征．菁优网版权所有
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专题：
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整除性问题．
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分析：
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从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95=1995，然后用2013﹣1995，解答即可．
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解答：
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解：从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95=1995，
2013﹣1995=18（岁）；
故选：B．
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点评：
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此题考查了数的整除特征，求出小明哥哥出生的年份是解答此题的关键．
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3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
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考点：
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简单周期现象中的规律．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的3倍；爬1米和滑1米的时间相同，以爬3米，滑1米为一个周期；（3﹣1）×3+3=9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2；解答即可．
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解答：
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解：以爬3米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3=9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；
（12﹣3）÷（3﹣1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2=22分钟；
故选：A．
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点评：
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明确爬3米，滑1米为一个周期，是解答此题的关键．
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4．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．
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考点：
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比的应用．菁优网版权所有
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专题：
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比和比例应用题．
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分析：
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我们运用比例进行解答，设白子有x个，黑子是 x+1．用黑子的个数与白子的个数减去1个的比是7：5，列方程进行解答即可．
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解答：
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解：设白子有x个，黑子是x+1．
（x+1）：（x﹣1）=7：5，
x×5+5=7x﹣7，
6 x+5=7x﹣7，
 x=12，
x× =12×，
x=21；
黑子的个数：
 x= 21+1=28；
28﹣21=7（个）；
故应选：C．
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点评：
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本题把一个数设为x，再用未知数表示另一个数，进一步列方程解答即可．
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5．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（ ）平方厘米．
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考点：
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三角形面积与底的正比关系．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB和S△FDC等底等高，所以面积相等；在梯形EBCD中，有S△EDB和S△EBC等底等高，所以面积相等；在梯形FEBD中，有S△FDB和S△EDB等底等高，所以面积相等；所以可得S△FDC=S△EBC，又因为M是DC的中点，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质，所以S△EBC=2×5=10cm2．
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解答：
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解：如图，连接FC，DE，FB，
在梯形FBCD中，有S△FDB=S△FDC，
在梯形EBCD中，有S△EDB=S△EBC，
在梯形FEBD中，有S△FDB=S△EDB，
所以S△FDC=S△EBC，
因为M是DC的中点，
所以S△EBC=2×5=10（平方厘米）．
则S△EBC=10平方厘米，
答：三角形EBC的面积是10平方厘米．
故选：B．
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点评：
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此题考查了高一定时，三角形的面积与底成正比的关系的灵活应用，正确连接辅助线是解决本题的关键．
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6．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（ ）立方米的水．
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A．
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0.9
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B．
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1.8
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C．
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3.6
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D．
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7.2
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考点：
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工程问题．菁优网版权所有
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专题：
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工程问题专题．
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分析：
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根据题意，设水池A和B的容积为“1”，1号阀门A池每分钟进水效率 ，2号阀门B池每分钟进水效率 ，A池每分钟放水效率也是，同时打开1号和2号阀门，则A池每分钟进水效率为 ，B池每分钟进水效率．A池水深0.4米，则A池进水0.4÷1.2= ，需要时间 分钟，B池进水24×=1，所以B池有水3×2×1.2=7.2m3．
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解答：
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解：设水池A和B的容积为“1”，
同时打开1号和2号阀门，则A池每分钟进水效率为： ，
A池水深0.4米，则A池进水：0.4÷1.2= ，
需要时间： 分钟，
B池进水：24× =1，
所以B池有水：3×2×1.2=7.2（立方米）．
答案为：D．
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点评：
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本题考查理解题意能力，关键是根据工作量=工作效率×工作时间，求出1号、2号阀门同时打开A池的进水率和需要的时间，然后再利用长方体的体积公式计算出B池水的体积即可．
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二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了 105 张；小华拿了 90 张；小刚拿了 168 张．
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考点：
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按比例分配应用题．菁优网版权所有
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专题：
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比和比例应用题．
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分析：
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根据题意，可知小明的张数：小华的张数=7：6，小明的张数：小刚的张数=5：8，进而把这两个比写成连比，即小明的张数：小华的张数：小刚的张数=（7×5）：（6×5）：（8×7）=35：30：56；再根据“小明、小华、小刚三人分363张卡片”，也即要分配的总量为363，是按照35：30：56进行分配的，从而按照比例分配的方法求解．
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解答：
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解：小明的张数：小华的张数：小刚的张数为：（7×5）：（6×5）：（8×7）=35：30：56，
小明拿的张数：363× =105（张），
小华拿的张数：363× =90（张），
小明拿的张数：363× =168（张）．
答：小明拿了105张；小华拿了90张；小刚拿了168张．
故答案为：105，90，168．
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点评：
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此题考查按比例分配应用题，解决关键是把两个比根据比的性质改写成连比，进而按照比例分配的方法解答．
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8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有32人上班，那么该公司至少需要 45 名工作人员．
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考点：
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抽屉原理．菁优网版权所有
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专题：
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传统应用题专题．
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分析：
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根据题意，该公司一周总上班人次至少为32×7=224（人次），把它看做224个元素，而每人每周上5次，把它看做5个抽屉，考虑最值：224÷5=44（名）…4名，所以至少需要44+1=45人．
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解答：
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解：根据题干分析可得：32×7÷5=44（名）…4名，
44+1=45（名），
答：那么该公司至少需要45名工作人员．
故答案为：45．
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点评：
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此题考查抽屉原理问题，需要考虑最值．
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9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE=45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于 10.26 平方厘米（取π=3.14）?
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考点：
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差不变原理；组合图形的面积．菁优网版权所有
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专题：
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平面图形的认识与计算．
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分析：
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连接EO，圆O中非阴影部分的面积﹣正方形BCDE中非阴影部分面积=（圆O中非阴影部分的面积+阴影部分面积）﹣（正方形BCDE中非阴影部分面积+阴影部分面积）=S圆﹣S正．然后，根据，∠ABE=45°可得正方形的边长等于圆的半径，进而推导出BE2=r2=（6÷2）2×2，再根据前面的关系式代入数据解答即可．
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解答：
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解：
如图，连接EO，S正=EB×EB=EO2+BO2=（6÷2）2×2=18cm2
所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差：
π×（6÷2）2﹣18=10.26（平方厘米）；
答：圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于10.26平方厘米．
故答案为：10.26．
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点评：
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本题考查了图形面积中差不变问题，关键是求正方形的面积．
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10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有 31 种不同的选择．
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考点：
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整数的裂项与拆分．菁优网版权所有
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专题：
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整数的分解与分拆．
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分析：
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36个同样的礼物装在8个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为1且各不相同，而1+2+3+…+8=（1+8）×8÷2=36，明确8个袋子分别装的礼物数是1～8．根据题意要求选出袋子里装的礼物数为8的倍数，分情况枚举即可．
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解答：
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解：如果每人分1个礼物https://www.：8=8=1+7=2+6=3+5=1+2+5=1+3+4，6种；
如果每人分2个礼物：16=1+7+8=2+6+8=3+5+8=3+6+7=4+5+7=1+2+5+8=1+2+6+7=1+3+4+8=1+3+5+7=1+4+5+6=2+3+4+7=2+3+5+6
=1+2+3+4+6，共13种；
如果每人分3个礼物，拆分24，与拆分36﹣24=12是一样的．
12=4+8=5+7
=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5
=1+2+3+6=1+2+4+5，共10种；
如果每人分4个礼物，同理拆分36﹣32=4
4=4=1+3，共2种；
所以，共有6+13+10+2=31种不同的选择．
故答案为：31．
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点评：
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本题关键是枚举要有序，不重复不遗漏！
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