小学数感直观表征的形式、特征及对教学启示

(1.厦门市思北小学，福建 厦门 361000；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130021)

[摘 要] 数感是数学素养的基本要素之一，而直观表征是现实世界与数量世界之间的重要联结，是培养中小学生数感的有效途径。数感直观表征有四种基本形式：即情境表征，操作表征，图像表征和简约符号表征。数感的形成是从线性到网状方式，从操作表征过渡到图像表征，经历了简约符号表征到抽象思考。小学数学课程中数感直观表征具有层次性、多元化和程序性等核心特征，研究其特征对小学数学课程设计有一定的指导意义。

[关键词] 数感；直观表征；课程设计；小学

数感是数学素养的基本要素之一，而直观表征是培养中小学生数感的有效途径。我国《义务教育数学课程标准》指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。[1]可见，数感是数的感悟，是对数学的研究对象进行直接感知、整体把握的能力。[2]数感的直观表征是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系直接感知数量关系，表现为对量与数的一种直观能力。[3]因此，数感的培养需要直观表征来促进学生对数的理解和思维的发展。

一、数感直观表征的基本形式

直观表征是现实世界与数量世界之间的重要联结纽带：作为沟通工具，是数感形成不同阶段的“桥梁”，描述活动经验；作为思维材料，代表物化的数概念或内化操作的载体。数感的直观表征形式主要包括情境表征、操作表征、图像表征和简约符号表征。

1.情境表征

借助与研究对象有着一定关联的情境，利用自然语言的简洁阐述，获得对数感的直观判断。如6个儿童平均分18只彩笔，每个儿童可以分到几只彩笔？

2.操作表征

通过与实际存在物和关联的媒介操作获得针对数感的直观判断，主要包括实物操作(例如实物展示、借助刻度尺、刻度盘等)和媒介操作表征(如利用多媒体展示、动画等)。

3.图像表征

以明确的几何图形为载体来理解数量关系的几何直观表征。主要使用和解释线段、面积、柱形图、扇形图，使用表格和图像的形式收集和解释数据等。

4.简约符号表征

在上述直观的基础上，进行一定程度的抽象，形成半符号化的数感直观，例如数轴、比率表、直方模式(见图1)等。解决行程问题使用的线路图也是一种简约的、符号化的直观图示，这种简约符号直观是经过一定的数学抽象而形成的，与现实生活原型相比，具有一定程度的半抽象性。凭借这种图示分析解决问题，就是简约符号层面的直观(能力)在发挥作用。

图1 直方模式

二、数感直观表征的核心特征

1.直观表征的层次性

数感形成是从线性到网状方式，从操作表征过渡到图像表征，经历简约符号表征最后到抽象思考；数感的直观表征按照从易到难的顺序具有一定的层次性，儿童意识到数，首先从生活情境中开始谈论数的言语开始，然后以活动操作为载体，通过动作操作(实物表征)和视觉操作(图像表征)去探究数的表征形式，进行内在的思维活动，经历半抽象的简约符号表征到抽象思考的活动阶段。图2展示了数感表征设计思想，表征领域以较低水平的知识为目标不断进行更高水平的知识活动，表征形式具有逐级抽象的特点，表征顺序内隐藏着学生的思维进程，让表象再现，促进知识理解由粗略向精致提升。

图2 数的表征的五种形式和表征出现的领域

2.数感直观表征的多元化

图的多元表征

多元表征之间的相互转化，尤其是不同操作表征之间的转化理解，在数学知识本质提炼时，有助于促进学生内部表征的思维操作。例如的多元表征(如图3所示)，案例1利用三种不同表征，有助于数感的归纳、抽象和概括。在对数感进行深刻理解或应用时，多元表征可以进行整合，即在不同层次和不同种类的表征之间统整，具有可操作、可观察的交互性表征。例如案例2利用学生多元表征的不一致性产生认知冲突，表征互补，达到比较完整的心理意象；案例3用两种算法直观表征，形成利于数感理解的恰当心理表征，凝聚成比较有活性的动态数感网络结构，促进数感素养的培养。

案例1：情境表征与简约符号表征转化(如图4所示)。

图4 情境表征与简约符号表征转化

案例2：简约符号与数字符号表征转化(如图5所示)。

图5 简约符号与数字符号表征转化

案例3：要把10个棒球卡片每2个分成一组，能分成多少组？

用重复的减法发现10÷2的值。一种方法是数轴线操作(如图6所示)，从10开始，每次2个格的依次向后数直到0。一共用了几组减法？所以，10÷2=5，将会有5组卡片。另一种方法是纸和铅笔操作(如图7所示)，2个为一组的做减法直到为0，一共用了几组减法？

图6 数轴线操作

图7 纸和铅笔操作

3.数感直观表征的程序化

良好的问题情境和问题串设计是数学程序性的表征形式之一，美国教材中关于数感形成的设计，以“活动操作”为核心，让学生体会数感是从现实生活到数学的一个提炼过程。例如计算设计了游戏活动，刺激学生的数感形成，学生所获得的程序性知识属于“模式再认知识”或“技术的知识”。要求学生在适当的条件下采取相应数值操作，掌握“动作操作系列知识”，学生由“知道怎样做”开始变得“会做数学”，利用数值操作的直观形成数感，从而把程序性知识的学习转化为以数感培养为设计目标。

案例4：活动操作表征：计算

操作准备：几何板找到第一个因数是第二个因数是

第一步：用一排几何板展示用另一排展示在几何板上(如图8示)；

第二步：用几何板形成一个矩形，几何板的一排显示另一排显示

第三步：连接几何板展示一个小矩形；

图8 活动操作

小矩形的区域是6个方形单位，大矩形的区域是12个方形单位。所以或

三、数感直观表征对小学数学教学的启示

1.重视体验，强化感知，展现表征过程

数学教学中注重在现实情境下进行活动操作，数感的直观表征一定会经历操作表征，通过学生的体验活动，安排科学的感知程序，将具体的操作活动和背后的数学知识密切联系在一起。例如案例3除法的运算，两种算法使得多元表征在合理结合的基础上建立数感，帮助学生实现数学知识由表面到深层的理解，发展思维能力。同时，直观表征显然要经过一定的“加工提纯”的教学设计，才能让学生体验到其中的“数学味”，才能让学生尽快形成数感。教师提供感性材料，关注其中所蕴含的数学内容，在具体的教学活动中应通过教师的有效指导来实现价值引导，积累感性经验，展现表征过程，促进数的理解，体现具体到抽象的理解过程，完成由感性到理性的飞跃。

2.注重关联，抓住本质，强调多元表征

直观表征有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，多元化表征的教学设计注重引导学生捕捉联系，由直观表征向心理意象表征转化，注重表征间的逻辑和知识的联结。例如“分数的意义”借助现实情境、面积表征、简约符号等表征，构建分数表征“支架”。借助外力多元表征来激活学生思维的建构，自觉地反思多元表征，经过“旧平衡—不平衡—新平衡”的过程，形成比较清晰的心理意象，将直观经验和符号定义有机联系，回归现实背景，丰富数感原型来支撑概念本质。在数感教学时，教师应当尽可能提供丰富多样的事物原型，帮助学生建立丰富、立体化的概念意象。

3.直观表征协同，形成深刻表象，导向符号表征

从上述设计看出，图示或操作模型等直观表征是联结具体到抽象“沟”的桥梁，因此，必须调度好多种感官协同感知。直观表征只是形成数感的过程，是帮助学生理解抽象的数学内容，并不能直接导致学生的数学理解，而具体表征最后必须上升到抽象才是“数学”，仅停留在具体表征阶段永远只是“操作”[5]，因此必须趋向符号表征。数感表征只有通过思维凝聚才能认识到事物抽象的本质，课程设计者有意促进学生的思维从具体向抽象、由低层次向高层次抽象发展，有助于唤醒和提取表象，促进学生感知向抽象思维过渡，进行高层次数学思维活动，这些对我国数感课程设计应该具有警示和借鉴作用。

[参 考 文 献]

[1] 教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京：北京师范大学出版社，2013：66-68.

[2] 秦德生，孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考，2005(10):9-11

[3] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式[J]. 课程·教材·教法，2012(7)：92-97.

[4] BAILEY R，DAY R，FREY P，et al.Mathematics:Applications and Concepts ancourse1[M].Columbus O H：The McGraw-Hill Company，2006..

[5] 秦德生.美国中小学“估算”课程设计及其启示[J].外国中小学教育，2013(12)：50-54.

[责任编辑：陈学涛]

[DOI] 10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2017.03.010

[收稿日期] 2016-11-17

[基金项目] 吉林省发改委项目(2015Y054)；东北师大教改项目(2015JSJY011)。

[作者简介] 郭方年(1967-)，男，福建龙岩人，小学高级教师，校长；秦德生(1974-)，男，内蒙古通辽人，副教授。

[中图分类号] G623.5

[文献标志码]A

[文章编号]1002-1477(2017)03-0035-04