《高中物理思维方法集解》试笔系列 —— 场强、电势的“比较”和“运算”

                                    《高中物理思维方法集解》试笔系列

                                 场强、电势的“比较”和“运算”

                        山东平原一中   魏德田  2531000

     “电场强度”和“电势”是高中物理电学中两个最基本、重要的物理概念。前者反映电场的力的性质，进而由于电场力对电荷（或带电物体）作用、做功，导致其运动状态、电势能等发生变化。后者则反映电场的能的性质，进而由于电荷（或带电物体）在电场中不同位置存在的电势差，导致在电场内移动电荷时发生系统电势能的变化。而运动学、动力学以及电场线、等势面、静电平衡等等知识的穿插、渗透，更使此类试题花样迭出、浩若烟海，成为高中物理中一道“亮线”。下面仅就同一电场内各点“场强、电势（能）的比较” 和 “场强的合成与分解”两个问题，做些粗略而简要的分析。

                         一、破解依据

     欲解此类问题，大致应用以下几条依据。

㈠ 同一电场内各点“场强的比较”：⑴电场线 “密度大处场强大”；反之则小；“密度一致”，则场强“相等”。⑵对带电体和直、交流电路，电荷面密度大处场强大；反之则小一些；⑶也可根据定量求解。

㈡同一电场内各点“电势（能）的比较”：⑴同一曲（或直）电场线上各点的电势，“沿电场线方向逐点降低”。⑵正（或负）静止电荷仅受电场力作用时,必定移向电势低（或高）处；运动电荷则另作别论。⑶电场力做正（或负）功，等于正电荷的电势（能）的减少（或增加），等于负电荷的电势能的减少（或增加）、电势的增加（或减少）。亦即所透露之意。⑷直（或交）流电路中各点的电势，外电路“沿电流方向逐点降低”；内电路则“与此相反”。

㈢“场强的合成与分解”： ⑴“共线”点电荷场强的合成与分解,类似沿同一直线的力的矢量运算；“不共线”时，则应用平行四边形定则。⑵均匀带电薄板的场强（见例题7），可采用“等效代换”法。⑶大量“点电荷元”求其合场强，宜采用“累积法”。

注：除非特别说明，均不可忽略场强方向；电势的合成和分解，宜用代数加减法，讨论从略。

                     二、解题示例

㈠场强、电势的比较

[例题1](’06上海)A、B是一条电场线上的两点,若在A点释放一初速为零的电子,电子仅受电场力作用,并沿电场线从A运动到B，其速度随时间变化的规律如（图—1）图所示.设A.B两点的电场强度分别为E_A、E_B,电势分别为U_A、U_B，则(    )

A.         B.   C. 

 D.

[解析]先判断A、B两点场强的大小。从图—1可见，电子做匀加速直线运动；由牛二定律可知，它所受的电场力为恒力。应用“依据”㈠-⑶（即场强定义式），可知场强必定为恒量。故选项A对B错。然后，由“依据”㈡-⑵或㈡-㈢可知，U_A＜U_B。故选项C错D对。

因此,本例答案为:选A、D.

[例题2](’02春季高考)如图—2所示,在两个固定电荷+q和-q之间放入两个原来不带电的导体,1,2,3,4为导体上的四个点,在达到静电平衡后,各点的电势分别是,则(     )

A.  B.  

C.        D.

[解析]首先，静电平衡态的导体是等势体，故知1、2和3、4分别为等势点，即。图—3表示两导体上的“感应电荷”的电场线的大致分布情况，由“依据”㈡-⑴可得。若从另一角度看，亦可忽略感应电荷对源电荷“叠加电场”的影响，那么该电场的电场线是从+q指向-q的，同理可得相同的结果。因此，本例答案为：选B。

[点拨] 此例为静电平衡状态下、导体上各点电势高低的比较问题。值得强调，本例解答中，“忽略”感应电荷对叠加电场的影响，即属于一种“科学近似”。而这种“近似处理法”，正是抽象思维方法在物理学中的重要应用。从某种意义上说，没有对物理现象、物理过程的科学“抽象”和“概括”等等，就没有抽象思维。

[例题3](’04天津)电场中,将一电子从A点移到B点,电场力做了正功,则

A.电场强度的方向一定是由A点指向B点

B.电场强度的方向一定是由B点指向A点

C.电子在A点的电势能一定比在B点高

D.电子在B点的电势能一定比在A点高

[解析] 一般说来，电子的运动轨迹为曲（或直）线，如图—4所示。众所周知，当力对物体做正功时，力与速度成锐（或零度）角，本例即属此类。

在曲线运动中，物体速度方向是不断变化的。由此可知，电场力方向与电子受力方向总是相反的，即场强可能存在多个方向。故选项A、B均错。

由“依据”㈡-⑶，可得A点的电势能比B点的电势能高。故选项C对D错。

因此，本例答案为：选C。

[例题4](’06四川)带电粒子M只在电场力作用下由P点运动到Q点,在此过程中克服电场力做了2.6×10^-8J的功.那么,(     )

A.M在P点的电势能一定小于它在Q点的电势能    B.P点的场强一定小于Q点的场强

C. P点的电势一定高于Q点的电势               D.M在P点的动能一定大于它在Q点的动能

[解析]已知粒子M只受电场力作用，并“克服”电场力做功，由“依据”㈡-⑶可知，其“电势能增加”，故判选项A正确；我们不知题设电场力是恒力或变力，参考图—3来分析，我们也很难比较P、Q两点场强的大小（和方向），故选项B错；由于粒子电性难明，由“依据”㈡-⑶知，我们不能判断P、Q两点电势的高低，故选项C亦错；最后由动能定理可得，粒子在Q点动能较小，那么选项D也正确。

因此，本例答案为：选A、D。

[点拨]纵观例题3的求解过程，首先依据题意，作出电子在任意点受力、速度的示意图；然后，联系图内透露的信息和物理基本规律，把形象思维和抽象思维有机结合起来，即可使不易把握的问题得以顺利解决。而例4呢，则借用了例3的解题成果。

[例题5][’04北京] 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如下图—5所示。虚线表示这个静电场在xoy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于ox轴、oy轴对称。等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x₀）时，速度与ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度v_y随位置坐标x变化的示意图是图—6中   （    ）

   [解析]根据场强与等势线（面）相互垂直，且等势线的电势沿x轴正向增加，可粗略的描绘出该场的电场线分布以及电子在P点的受力情况，分别如图—7、图—8所示。其中，F、F_X、F_Y分别为电子在P点所受的电场力及其两个分力。

显然，在静电场中各个不同位置，电子所受电场力的大小和方向也各不相同；再由“运动的合成”可知，电子在水平向右方向做加速度先增大后减小、方向不变的非匀加速运动。

而电子竖直方向的加速度先减小后增大、方向往复，故它做变加速“类竖直上抛”运动。由于“电子经过P点（其横坐标为-x₀）时，速度与ox轴平行”，故竖直分初速度为零，因而竖直分速度先增大后减小。由于水平方向运动是变加速、加速运动，因而电子在左右两段相等位移上所用的时间不同——“左长右短”。根据运动的“等时性”，可知当电子到达横坐标为x₀处时，竖直分速度不可能恢复为零。

因此，本例答案为：选D。

[点拨]此例解答的特殊之处，在于先根据场强方向、等势线（面）的关系，作出直观、形象的电场线分布示意图；进而，分析电子在 “特殊点”P的受力、运动情况；再融力学、电学知识为一炉，应用在变力作用下物体的运动规律予以解决。

㈡关于场强的合成

[例题6]（’06全国）ab是长为l的均匀带电细杆，P₁、P₂是位于ab所在直线上的两点，位置如图—9所示。ab上电荷产生的静电场在P₁处的场强大小为E₁，在P₂处的场强大小为E₂。则以下说法正确的是    （    ）

A.两处的电场方向相同，E₁>E₂        

B.两处的电场方向相反, E₁>E₂

C.两处的电场方向相同，E₁<E₂    

D.两处的电场方向相反，E₁<E₂

[解析]如图—10所示，C点为细杆的中点。先讨论P₁点的情形。由于aP₁=P₁c=l/4,根据该段细杆上电荷分布的“对称性”，可知它们对P₁点场强E₁的贡献为零；场强E₁仅由bc段电荷所产生。选水平向右为坐标正方向，设bc段电荷产生的场强为E_bc＜0，方向水平向左。依题意可得

 

再看P₂点的情形。由“依据”㈢-⑴可得

      

显然，E_bc、E_ac方向均为向右。由于杆的ac、cb两段长度、电荷分布线密度均相等，因而

由①②③④四式，可得

而E₂的方向水平向右。显见，E₂与E₁方向相反。

因此，正确答案为：选D。

[点拨]应该指出，确切的计算该电场的场强，中学阶段很难做到。但是，在求解P₂点的场强时，我们采用笼统表示、等效代换加严密推导方法。这一点，不仅对物理教学和解题指导，而且对其他学科的同类课题的讨论和研究，都有一定的借鉴意义。

[例题7](高考模拟)如图—11,带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心.若图中点a处的电场强度为零,考虑到对称性, 电荷+q与带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为_____,方向________.(静电力恒量为k)

[解析]设均匀带电薄板、点电荷+q分别在a点产生的场强为E₀、E₁ ；再设水平向右为正方向。由已知a点的“合场强”为零，从而由“依据”可得

由①②两式可得

     

设“薄板”、点电荷+q在b点产生的场强分别为E₀₂、E₂，两者的合场强为E。根据“对称性”， E₀₂=－E₀₁，即两者场强的大小可“等效代换”。同理可得

 

 再由③④可得

          

“－”号说明该场强的方向水平向左。       

[点拨]此例为原（’05上海）高考试题，稍加变化而成的“变形题”。作为同一直线上场强的合成问题，采用“等效代换法”解决。解题时，首先为场强选定一个正方向，如此则确立各场强的符号才有可信依托。

    [例题8]图—12表示在竖直平面内半径为R、带有均匀正电荷Q的圆环，P点表示圆环轴线上离环心为L的一点。试计算带电圆环在P点产生的电场强度。（设静电恒量为k）

[解析]首先，把圆环所带正电荷分为电荷量为△Q的许多部分，每部分称为一个“电荷元”；规定沿轴线OX水平向右为坐标正方向。由点电荷场强公式、角线量关系，可得电荷元△Q在P点产生的场强为

         

分析可知，所有场强△E的竖直分量可以相互抵消。从而，可以求出圆环在P点产生的场强为

            

    显然，该场强的方向是水平向右的。

    [点拨]此例实则为根据场强叠加原理，求大量点电荷的合场强问题。解题时，不但需要牢固的把握电电荷的场强公式，还需要学会如何应用微元思想结合平行四边形定则来求它们的矢量和。

                                              (2017-08-04  经典重发)