高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（24）

 本周更新理数，下周更新文数 

小数老师说：

今天小数老师带来的是全国理数的模拟题，今天是一道函数问题，这是很多同学的难点，大家要加油~

（2017 · 全国I卷模拟理数 · 19）

19、如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．  

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．    

先自己思考

本题考点

直线与平面所成的角，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角

题目分析

（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDEF的法向量，即可求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H﹣BD﹣C的大小．

题目解析

解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，  ∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）

∵AC⊥平面BDEF，
∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．

设直线DH与平面BDEF所成角为α，
∵=（，，），

∴sinα=|cos＜，＞|=||=，

∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（﹣，，），=（2，0，0）．

设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则 

令z=1，得=（0，﹣，1）

由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），

则cos＜，＞==﹣，

由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，
∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．

本题点评

本题考查立体几何的证明和二面角问题，是高考中的难点，立体几何也是高中学习比较困难的地方，大家平时要注意练习