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（江苏·盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=1/2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1:S2的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【图文解析】 （1）简析：依题意求得A（﹣4，0），C（0，2），再代入抛物线的解析式，y=－1/2x2+bx+c，可得b=-3/2,c=2，所以所求的抛物线的解析式为：y=﹣1/2x2﹣3/2x+2. （2）①先求出B（1，0），然后， 法一：如下图示， 同时，因B（1，0），可求得N（1，2.5）.分别得DM＝-0.5a2-2 a，BN=2.5. 进一步，根据面积公式和平行线分线段成比例定理的推论，可得到： 所以，当a=-2时，S1/S2的最大值为4/5. 法二（计算量非常大，但为常法，体会解题思路，本题不建议用此法） 解题思路：如下图示，先用m表示直线BD的解析式，再求出直线AC和BD的交点E的坐标，再进一步，由面积公式和平行线等分线段定理，可得到： （3）方法一：如下图示， 通过勾股定理的逆定理或相似，不难证得∠ACB＝90°，再取AB的中点P，连接OP，可得到∠BPC＝2∠BAC.同时P（-1.5，0），OP＝1.5，OC＝2，OA＝4，PC＝2.5，进一步tan∠BAC＝2/4＝1/2. 情形一，当满足∠DCF=2∠BAC时，如下图示， 法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示） 由∠DCF=2∠BAC=∠DQC+∠CDQ得：∠CDQ=∠BAC，得到tan∠CDG=tan∠BAC=1/2，即RC：DR＝1：2. 设D（a，﹣1/2a2﹣3/2a+2），则DR=﹣a，RC=﹣1/2a2﹣3/2a，所以： 法二：如下图示，作A点关于直线y=2(因C点坐标为（0，2）)的对称点A’，再作直线A’C交抛物线于D点（即为所求的D点）. 根据对称性和平行线的性质，不难证得∠DCF=2∠ACN＝2∠BAC. 不难求得A’（－4，4），因C（0，2），直线A’C为y=－1/2x+2. 再联立抛物线和直线A’C的解析式，即可求得D的横坐标为2. 情形二，当满足∠CDF=2∠BAC时，如下图示， 法一：过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q，则有：（如下图示） 当∠CDF=2∠BAC时，得tan∠CDF=tan∠CPO＝4/3. 设FC=4k，则DF=3k，DC=5k，由中DQ∥x轴得：tan∠DQC＝3k/FQ=tan∠BAC＝1/2，解得FG=6k，则CQ＝2k.如下图示： 如下图示，不难求得：
法二：如下图示，作O关于BC的对称点O’，作B关于O’C的对称点B’，再作直线B’C交抛物线于D点（即为所求的D点）.
根据对称性，不难证得∠BCB’=2∠BCO’＝ 2∠BCO＝2∠BAC，又∠BCB’＝90°－∠1＝90°－∠2＝∠CDF，满足∠CDF=2∠BAC. 如下图示，不难求得：
由tan∠BLC＝1/n=2/(1+m)得m+1=2n，又面积关系S△OLC＝S△OBC+ S△BLC得：0.5（1+m）×2＝0.5×1×2+0.5×1×（2+n）即 2m=2+n，综合两式：
所以L（8/3，0）. 进一步由点C（0，2）和L（8/3，0）可得直线LC为y=-3/4x+2. 类似地，可求出点B’的坐标，如下图示，
直线CB’的解析式为y=-2/11x+2，再联立直线CB’和抛物线的解析式，解方程组，即可得到D点坐标.下略. 反思：本题的第（2）、（3）两小题的两种解题思路，不同添辅助线的方法，是中考的热点和重中之重，因此务必要熟练掌握。 |
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