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（江苏·盐城倒二） 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_______． 【图文解析】 如下图示， 由三角形的中位线定理，可得：DE∥AB，EF∥BC，EF=1/2BC，DE=1/2AB，又∠B＝900，进一步得到四边形BDEF为矩形. 【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示） 【图文解析】 要求矩形PQMN面积的最大值，对本题来说，无法用尺规作图法找出符合条件的点，因此可以通过建立函数的方法，转化为求函数的“最值”问题，为此，可设矩形的一边PQ＝x，将矩形PQMN的面积表示为 x的函数.如下图示， 现只需求出PN，即可得到：用x表示矩形PQMN的面积.几何中求线段PN的长，通过可以通过勾股定理、相似、三角函数等方法.本题因PN∥BC，很自然想到用相似的性质（对应高的比等于相似比）求出PN的长（用x表示）.如下图示： 因此当PQ=h/2时，S矩形PQMN最大值为ah/4. 故答案为：ah/4. 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【图文解析】 由于∠B是直角，从上述结论和图形结构不难联想到应补全直角三角形，如下图示， 因此，要想从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），应是：（其中I、K分别是BF和BG的中点），由【探索发现】知矩形的最大面积应为△BFG面积的一半. 不难证明：△AEF≌△HED（ASA）和△CDG≌△HDE，所以AF=DH=16，CG=HE=20. 由【探索发现】知矩形的最大面积为0.5BG·BF=0.5×（40+20）×（32+16）=720. 【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=4/3，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【图文解析】 由【拓展应用】不难想到，本题应先补全以BC为一边的三角形，并画出相应的高，如下图示，
问题就转化为：
因BC＝108，由【拓展应用】的结论知，只需将EH求出，并说明BE和CD的中点Q、P在边AB和CD上即可得解。 由tanB=tanC=4/3可知，∠B=∠C， 进一步得到：EB=EC＝0.5BC=54cm，如下图示.
有Rt△EBH中，由tanB=EH/BH=4/3得，EH=4/3BH=72cm.通过勾股定理，不难得到BE＝90cm，CE＝120. 同时，
所以中位线PQ的两端点在线段AB、CD上（存在性）. 由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为1/4·BC·EH=1944cm2. 【反思】这是两道课本例习题的巧妙变式和拓广，试题难度并不大，但从题意到解法、应用都恰到好处，真正体现出“数学从生活来，又回到生活中去”，真真是一道非常难得的好题。 |
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