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2017年浙江台州中考倒一（函数相关） （2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2﹣5x+2=0，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）； 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根． （1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2﹣5x+2=0的一个实数根； （3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； （4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？ 图文解析： （1）简析：根据“第四步”的操作方法作出点D即可.如图所示，点D即为所求. （2）如下图示， 不难得到∠CAO＝∠BCD，由三角函数的定义知：tan∠CAO=OC/OA＝BD/CD=tan∠BCD，进而得出m:1=2:(5-m)，即m2﹣5m+2=0.所以m是方程x2﹣5x+2=0的实数根. （3）结合上述方程“x2﹣5x+2=0”的结构特点和(2)中的证明(m:1=2:(5-m))，可知：二次项的系数(A点的纵坐标)与常数项的积为B点的纵坐标，B点的横坐标为一次项系数与二次函数的商的相反数，对比方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+(b/a)x+c/a=0，模仿研究小组作法可猜想，得：A（0，1），B（﹣b/a，c/a）或A（0，1/a），B(﹣b/a，c)等. （4）设P（m1，n1），Q（m2，n2），如图示， x2﹣（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0， 又∵ax2+bx+c=0，即x2+(b/a)x+c/a=0， ∴比较系数可得： m1+m2=﹣b/a，m1m2+n1n2= c/a． 同样对x2(若存在)的解法也类似(略去). 所以，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足“m1+m2=b/a，m1m2+n1n2= c/a”的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点. 反思：解题关键是：过数结合图形，一元二次方程的解，锐角三角形的定义的综合应用 |
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