几何画板解析2017年湖北咸宁中考倒二（几何背景）

---

---

---

（2017·湖北咸宁）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.

理解：

⑴如图1，已知A,B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；

⑵如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

⑶如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标.

---

---

【图文解析】

(1)如图,连接AO并延长交⊙O于点C₁;连接BO并延长交⊙O于点C₂.

---

(2)设正方形边长为4a,

则CE=BE=2a,CF=a,DF=3a.

在Rt△ABE中,AE²=20a²,

在Rt△CEF中,EF²=5a²,

在Rt△ADF中,AF²=25a²,

∴AE²+ EF²= AF²,△AEF是直角三角形.

∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,

∴△AEF是“智慧三角形”.

【反思】

由勾股定理的逆定理判定出△AEF是直角三角形,再由直角三角形的性质可得△AEF是“智慧三角形”.

(3)由“智慧三角形”定义可知△OPQ为直角三角形,由题意,直角边OP=1,当斜边OQ最短时,另一直角边最短,即面积取得最小值.

[插入动图：湖北咸宁]

如下图,过点P作PM⊥x轴交于点M,

△QPO∽△OMP

---

---

【反思】

根据“智慧三角形”定义可知三角形为直角三角形,由相似三角形的性质及勾股定理分别求得P点的横、纵坐标.

---