【例】 设中,于D,若,解三角形ABC。
分析 “解三角形ABC”就是求出的全部未知元素。本题CD不是的边,所以应先从Rt入手。 解:在Rt中,有 ∴ 在Rt中,有 点拨 (1)应熟练使用三角函数基本关系式的变形,如
(2)平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用,本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理。事实上,还可以用面积公式求出AB的值:
所以解直角三角形问题,应开阔思路,运用多种工具。 【例2】 在中,,求。 分析 (1)求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长,也可以根据其中规则面积的和或差; (2)不是直角三角形,可构造直角三角形求解。
解:如图所示,作交CB的延长线于H,于是在中,有,且有 ; 在中,,且 , ∴ ; 于是,有 , 则有
点拨 还可以这样求:
【例3】在中,,求AB边上的高CH。 分析 注意到,在中,构造关于CH的方程。
解:设,在中,,于是 , 所以有关于h的方程 , 解这个方程,得 , ∴。 点拨 这是一个利用三角函数建立方程的例题,是方程思想在解直角三角形中的应用。 在解直角三角形中,根式运算起着重要的作用。本例中关于的计算如果是这样:
就不是好的计算过程,如果看到就有简便的算法 。 |
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