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一周强化
一、知识概述
l、相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边的比相等的三角形，叫做相似三角形．
(2)相似符号：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
(3)相似特征：两个三角形的形状一样，但大小不一定一样．
(4)相似性质：相似三角形对应角相等，对应边的比相等．
(5)相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
2、相似三角形的基本定理
(1)定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
(2)定理的基本图形，如图所示．
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE．
3、相似三角形的判定方法
(1)定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似．
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
(4)判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
(5)判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
二、重难点知识讲解
1、记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；②与全等三角形对应角(边)的识别有类似之处，相等的对应角所对的边是成比例的对应边；反之成比例的对应边所对的角是相等的对应角．
2、相似三角形的相似比是有顺序的．
如：△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，则 ，如果写成△A′B′C′∽△ABC，它们的相似比为k′， ，因此， ．
3、全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形并不一定是全等三角形．
4、传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．
5、判定定理1和全等三角形的“边边边”定理类似，即三组对应边的比相等，就可以判定两个三角形相似．
6、当两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用判定定理2证明两个三角形相似；定理可类比全等三角形的“边角边”定理，要特别注意“夹角”的含义，一定要扣住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点写在对应的位置上．
7、判定定理3是判定三角形相似的常用的方法．在两个三角形中，只要满足两个角对应相等，那么这两个三角形相似，证明时，关键是寻找对应角；一般地，公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意．
8、有关三角形的相似的基本图形．
（1）平行线型(如图)
（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)
△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD
AB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC
三、典型例题讲解
例1、如图，△AOB与△COD相似，∠A=∠C，下列各式正确的有（ ）
①∠B=∠D，② ，③ ，④ ，⑤ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
分析：
∵∠A=∠C，∠AOB=∠COD(对顶角相等)，
∴∠B=∠D，∴△AOB与△COD的对应顶点是A与C、B与D、O与O，应记作△AOB∽△COD，
∴，故只有①⑤正确．
解：C
反思：解这类问题的关键是找到正确的对应角与对应边．
例2、已知△ABC与△A′B′C′中，能确定这两个三角形相似的条件是（ ）
①∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°；
②∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm；
③AB=6，BC=5，AC=8，，B′C′=10，．
A．①②③ B．①②
C．②③ D．①③
分析：
①在△ABC中，∵∠B=75°，∠C=50°，
∴∠A=180°－∠B－∠C=55°．
∴∠A=∠A′=55°，又∵∠B=∠B′=75°，
∴△ABC∽△A′B′C′．
②在△ABC和△A′B′C′中，
，
又∵∠A=∠A′=120°，∴△ABC∽△A′B′C′．
③在△ABC和△A′B′C′中，
，
，所以△ABC∽△B′C′A′．
解：A
反思：
对于①容易错误地认为∠C≠∠A′，而只有∠B=∠B′，所以△ABC不相似于△A′B′C′；对于③容易错误地认为，所以△ABC不相似于△A′B′C′．同时，还会出现将两个三角形相似记为△ABC∽△A′B′C′，使对应顶点没有写在对应的位置上，因而误选B．
例3、如图，点E是△ABC形外一点，D在BE上，且∠BAD=20°，，求∠EBC的度数．
分析：
欲求∠EBC的度数，可先证△ABC∽△ADE，得到∠ABC=∠ADE，进而可得∠BAD=∠EBC．由已知条件，三组对应边的比相等的两个三角形相似．
解：
∵，∴△ABC∽△ADE．
∴∠ADE=∠ABC．即∠ABD＋∠BAD=∠EBC＋∠ABD．
∴∠BAD=∠EBC．又∵∠BAD=20°，∴∠EBC=20°．
反思：
遇到两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用判定定理1或定理2证明相似，若找到它们的夹角相等，则用定理2，若能发现第三边的比也相等，则用定理1．
例4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°，
（1）求证：BD·BC=BG·BE；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）若E为AC的中点，求EF﹕FD的值.
分析：
这是一道综合考查相似三角形有关性质和判定的综合题.对于（1）我们可以将等积式化为比例式，然后用“三点定形法”找三角形，即四条线段分别在△GBD和△CBE中，再证明这两个三角形相似.∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE，故问题得证.
对于（2），要证AG⊥BE，即证∠BGA=90°，直接证非常困难，注意到∠BAE=90°，如果能证∠BGA=∠BAE问题就解决了，故可证△ABG∽△EBA.因为∠ABG=∠EBA，只须证，而Rt△ABC,AB=AC,D为BC的中点，∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，由（1）可知BD·BC=BG·BE，∴AB2=BG·BE，故问题获解.
对于（3）是求两条线段的比，可仿（1）可证得△FGE∽△FCD，∴因为AB⊥AC，AG⊥BE，∴△AGE∽△BGA∽△BAE，∵AB=AC，E为AC的中点，所以从而可推得，即EF﹕FD=1﹕
答案：
（1）证明：∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE，
∴△GBD∽△CBE，∴，即BD·BC=BG·BE．
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC,D为BC的中点，
∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，
由（1）知BD·BC=BG·BE．∴AB2=BG·BE，即．
∵∠ABG=∠EBA，△ABG∽△EBA.∴∠BGA=∠BAE，∴AG⊥BE．
（3）EF﹕FD=1﹕
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