【原】基本不等式的“定”和“等”

左老师，这道题看了解析以后总觉得怪怪的，但是又没有强有力的证据支持我的想法，所以想问问您 .

这道题有三点疑惑.

第（1）处那里，它是同时用了两个基本不等式.

请问，这里满足基本不等式中的“正、定、等”吗？

不是说相加或相乘要为定值吗？但（2x-1)*1也不为定值啊.

第（2）处那里.即便第（1）处没有问题，在连用两个基本不等式之后，已经是前一个式子的最小值，这里又再用一次基本不等式求最小值的最小值，合理吗？

第（3）处，因为用了三次基本不等式.当然要有三个当且仅当.

但是，如果这里三个等式不能同时取等号又该怎么做？（当然这道题可以，有没有可能无法同时取等的时候）.

最后，有没有别的易于理解的解法？

谢谢.

Zach，

你应该是认真看过了互动的正确姿势，问的很具体，这才是合适的提问方法.

这样我们的沟通效率才高.

1

为什么求最值一定要“定”？

童鞋们都知道，用基本不等式求最值的三字诀——一正二定三相等.

市面上的资料基本围绕如何满足“一正二定三相等”的条件来求最值.

但是却很少讲，为什么一定要这三个条件呢？

“正”字不必多说，大家好理解，这是推导基本不等式的前提条件.

再来看“定”：a*b为定值，则a+b有最小值；a+b为定值，则a*b有最大值.即“积定和最小，和定积最大”.

为什么一定要“定值”呢？

看栗子.

这样解虽然使用了基本不等式，但是右边的式子并不是定值，结果正确吗？

显然，当x=2时，（9-2x）x的值等于10>9，所以上面的解法错误.

错误是如何发生的呢？

我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x)=[(9-x)/2]^2的图象.

从上图我们能看出：随着x的变化，(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化，而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2.

而且，当9-2x=x即x=3时，(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.

这些都没有错.

但是来了.

但是取等号时的位置并不是取最值的位置.

怎样能保证取等号时就是最值呢？

答案是：必须定值！

看正确解法.

再看图象，我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x)=81/8的图象.

看出定值的好处来了吗？

因为是定值，它的图象是一条平行于x轴的直线，这样就保证了——f(x)的图象都在直线的下方，取等号的位置就是最值的问题.

最后就到了“等”的要求了.

无需多言，如果等号取不到，最值显然也取不到.

2

可以多步到达“定”，只要多个等号能同时取得

从上面的分析我们能看出，用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”，而且顺序都不能变——先要求"正"，再要求"定"，最后研究取等的条件是否满足.

当然，如果只是使用基本不等式研究两个变量的不等关系，只要明白“正”和“相等”就够了.

比如，我们只是比较0<x<9/2时，（9-2x)x与（9-x)^2/4的大小关系.

首先确定是否为正数.

然后使用基本不等式，知道（9-2x)x<=（9-x)^2/4.

最后我们确定，当9-2x=x即x=3时，二者相等.

这就为“定值”提供了另外一种路径——多步到达“定值”.

画出图来，是这样的感觉.

只要中间的两个等号能够同时取得，f(x)也能取得最小值.

所以，你提供的答案解析是可行的.

回到你的问题：如果中间的几个等号不能同时取得，怎么办？

那就说明，这个解法行不通，要换别的思路.

画出图来，就类似于这样.

从上图看出，两个取等条件不一致，所以最终取不到最值.

3

有无其它解法？

你问是否有易于理解的解法？

我想，你的意思是问，有没有一步到位的解法？

也有，但同时需要学一点基本不等式的拓展——从二元到多元.

上面的解法中，用到了四元的基本不等式.

实际上，基本不等式可拓展到n元.学霸筒子们可参考.