基本不等式求最值：一正二定三相等

用基本不等式求最值的七字诀——一正二定三相等。

“正”字不必多说，就是a,b大于0，这是推导基本不等式的前提条件。

再来看“定”：a*b为定值，则a+b有最小值；a+b为定值，则a*b有最大值.即“积定和最小，和定积最大”。

为什么一定要“定值”呢？

看这个例题：

这样解虽然使用了基本不等式，但是右边的式子并不是定值，结果正确吗？

显然，当x=2时，（9-2x）x的值等于10>9，所以上面的解法错误。

错误是如何发生的呢？

我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x)=[(9-x)/2]^2的图象。

从上图我们能看出：随着x的变化，(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化，而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2.

而且，当9-2x=x即x=3时，(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.

这些都没有错。

但是问题来了：取等号时的位置并不是取最值的位置。

怎样能保证取等号时就是最值呢？

答案是：必须定值！

看正确解法：

再看图象，我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x)=81/8的图象：

看出定值的好处来了吗？

因为是定值，它的图象是一条平行于x轴的直线，这样就保证了——f(x)的图象都在直线的下方，取等号的位置就是最值的问题。

最后就到了“等”的要求了。

可以多步到达“定”，只要多个等号能同时取得。

从上面的分析我们能看出，用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”，而且顺序都不能变——先要求'正'，再要求'定'，最后研究取等的条件是否满足。

另外，也可以多步使用不等式，最后一步为定值即可。

当然，中间的每个不等式取等的条件都必须满足。

画出图来，是这样的感觉：

只要中间的两个等号能够同时取得，f(x)也能取得最小值。

如果中间的几个等号不能同时取得呢？----那就说明，这个解法行不通，要换别的思路。