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随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。
本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。
一、内容与要求
1．数列的差分
（1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。
（2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图像，了解差分与数列的增减、极值、数列图像的凹凸的关系。
2．一阶线性差分方程xn+1=k xn +b
（1）通过一些具体实例，体会方程xn+1=k xn +b是十分有用的数学模型。
（2）理解方程xn+1=k xn
+b中，当b=0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k=1（即差分为常数）时，其解为等差数列。
（3）认识方程xn+1=kxn +b的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程xn+1=k xn通解的关系；能给出方程xn+1=k
xn +b的通解公式。
3．（二元）一阶线性差分方程组 xn+1=a xn +b yn +c，yn+1=d xn +e yn +f
（1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。
（2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。
（3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。
（4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。
4．通过具体实例（如种群增长等），体会方程xn+1=kxn（1-xn）是十分有用的数学模型。借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值（如0<k≤1，1<k≤3，k=3.4，k=3.55，k=3.7）的情形,讨论xn的变化，初步了解非线性问题的复杂性。
5．应用
（1）学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。
（2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。
6．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：
（1）知识的总结。对本专题内容的整体结构和内容的理解，对刻画离散变量变化的数学方法的认识。
（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨差分方程及其应用。
（3）对本专题学习的感受。
二、说明与建议
1．教学过程和教材编写，应通过大量实例，帮助学生理解差分的概念和差分方程的意义，力求深入浅出。
2．通过对一阶线性差分方程的讨论，使学生理解方程解的结构，即通解、特解以及与齐次方程通解的关系。这不仅仅是为了求解差分方程，而且对将来进一步学习线性方程组、常微分方程等内容都有所帮助。
3．关注学生用差分方程解决实际问题的能力。特别应鼓励学生能从实际问题建立差分方程，并能结合实际问题引导学生讨论解的实际意义。
4．迭代方法是解决问题常用的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代方法的意义和作用。
5．在学习差分概念的过程中，应有意识地把差分和导数的概念进行对比，体会差分概念的意义和作用，并初步了解把连续变量离散化的思想。
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