高中数学 | 数列与分期付款

1、分期付款中的单、复利

例1、某人从银行贷款a万元，分五期等额还清，期利率为r。

（1）按复利（本期的利息计入下期的本金生息）计算，每期须还多少万元？

（2）按单利（本期的利息不计入下斯的本金生息）计算，每期须还多少万元？

解：（1）解法1：设每期须还x万元，则第一期到期后的欠款数为：

第二期到期后的欠款数为：

第五期到期后的欠款数为：

由于五次还清，故，即

解法2：设每期须还x万元，则第一期还x万元，到结账时相当于

万元；

第二期还x万元，到结账时相当于

万元；

……

第五期还x万元，到结账时仍是x万元。

因为五期总和=a万元在银行存五期的本息之和，即

所以

解法3：设每期还款x万元，则

第一期偿还的x万元相当于贷款时的

万元；

第二期偿还的x万元相当于贷款时的

万元；

第五期偿还的x万元相当于贷款时的

万元。

由已知得：

（2）设每期须还x万元，则

第一期还x万元，到结账时相当于

万元；

第二其还x万元，到结账时相当于

万元；

……

第五期还x万元，到结账时仍为x万元。

因为五期总和=a万元在银行存五期，即

由上述推算可知：若从银行贷款a元，分n期等额还清，期利率为r，每期须还x元，则

（复利形式）；

（单利形式）。

2、在银行中存款

例2、某同学若将每月省下的零花钱5元，在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本和利共多少元（保留到个位）。

分析：先分析每一年存款的本利和（单位：元）。按月分开算

第一个月：；

第二个月：；

……

第十二个月：5。

那么，每一年的本息和为：

第一年的A元，改存为年利按复利计算，两年后到期的本利和为：

；

第二年的A元，同理一年后到期的本利和为：

；

第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息，三年后取出的本利和为：

解：设每存一年的本利和为A，则

设三年后取出的本利为y

答：三年后取出本利共193元。

3、分期付款中的收益比较

例3、某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价值2150元。

第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月这一天都交付200元，并加付欠款利息，每月按复利计算，月利率1%。

第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%。

试比较两种付款方式，计算每月所付金额及购买这件家电总共所付金额。

解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2000元，按要求需10次付清，则以后

第一次应付：

（元）

第二次应付：

……

第n次应付：

每次所付的款额顺次构成数列，是以220为首项，为公差的等差数列。

10次付款总和为：

所以，实际共付2260元。

第二种付款方式：购买时付出150元，余款10个月后增值为：

设每月付款x元，则各月所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和分别为：这构成等比数列，其和为：

每月应付211.2元，10次付款总和为2112元，实际共付2262元，两者比较前者更实惠。

例4、在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

解：（1）设该人在A、B两家公司第n年的月工资数分别为，由已知得构成以1500为首项，公差为230的等差数列，是以2000为首项，公比为的等比数列，所以

（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为（ ）

若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为：

因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司。