高中数学：函数奇偶性与单调性问题

运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段。奇函数在对称区间上的单调性相同，且。偶函数在对称区间上的单调性相反，且。

例1、求解方程。

解：设函数，则是奇函数而且单调递增。原方程等价于，于是有，即，得为所求方程的解。

 

例2、若定义在（－1，1）上的奇函数是减函数，且有，求实数a的取值范围。

解：由，解得，再由，得。因f(x)为奇函数且为减函数，所以，可得，解不等式，得。综上可得。

 

例3、设是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意实数a、b∈［－1，1］，当时，都有。

（1）若a>b，试比较与的大小。

（2）解不等式。

解：（1）由a>b，得，即，由题意可得。因是奇函数，所以，可得，即。

（2）由（1），显然是定义在［－1，1］上的增函数，仿例2，易求出不等式的解为（同学们不妨自己动手试一试）。