【课程】西南科大网教学院_数学分析04_2.1 数列的极限

2.1  数列的极限

   

2.1.1 数列极限的概念

    定义在自然数集的函数，称为数列．记作：

　　(),

为了简便，有时也记为｛｝（，)，其中称为数列{}的通项．

    我们来观察如下几个数列：

(1)        {．即,…,,…  

 

 

 

 

 

 

 

(2)        {}．即偶数列

 

 

 

 

(3)        {   

 

 

 

 

 

 

   (4)  {}．即

 

    (5)  {

 

    以上(1)，(3)，(5)有一个共同特点：当n充分大时，自然数n所对应的项充分地接近于一确定的常数．换句话说，就是当n充分大时，与的距离可变得充分小，就是可以小于预先给定的任何一个充分小的正数．

  　现在以(5)为例来加以具体说明：

因为，当n充分大时变得充分地小．

    例如：要使，只须取，当时，就有

    要使，只需取，当时，恒有

即当n充分大时，充分地接近常数“1”的意思是：对于(无论多么小)，都能找到自然数，当时，恒有<.

 

    定义2.1.1  设{}是一个数列，为一个确定的常数，如果对任意小的正数，都存在自然数，使得时，恒有. 则称数列{}以为极限，或称数列{}收敛于，记为

因为数列是一类特殊的函数，所以也具有函数的某些性态:

    1. 数列的有界性

    设已知数列{}，若存在数，使得对一切，都有, 则称数列{}为有界，也称{}为有界数列，称为{}的一个界，若这样的正数不存在，则称数列{}为无界，也称{}为无界数列．

由定义知：(1)，(3)，(4)，(5)是有界数列；(2)是无界数列．

    2. 数列的单调性

    设已知数列{}，若对于任意都有 (),  则称数列{}递增(递减)，也称数列{}为递增(递减)数列．递增和递减数列统称为单调数列．

由定义知：(1)是递减数列，(3)是递增数列．

 

2.1.2 数列极限的几何意义

    设数列{}以数为极限，则，使得时，恒有

即

   它表示从第项起，数列{}往后的所有项全部落在的邻域内，即

=使得时，恒有

 

图2-1-2

 

2.1.3 关于收敛数列的定理

    一个数列有无穷多项，但只要它收敛于，则从数列收敛的几何意义可知：对于外至多只有这个数列的前面有限项；而后面的所有项(无穷多项)都落在内，如图2-1-2．这个重要性质使我们常常可以通过收敛数列的极限值来研究数列本身，进而得到有关收敛数列的一些重要定理．

    定理2.1.1（唯一性） 若{}收敛，则极限唯一．

    证明：若，并设

    对使得时，恒有

即

       (1)

又对使得时，恒有

即

 

       (2)

取max{}，当时，有(1)，(2)同时成立，显然这是不可能的．

　　

    定理2.1.2（有界性） 若{}收敛，则它一定有界．

    证  设=，则对使得时，恒有

于是，

令max{，…．

则有.  所以原命题成立．

    注意：本定理逆之不真. 为什么不真，请读者思考并力求找出一个有界但不收敛的数列.

    定理2.1.3（保序性） 设，，且，则当时，有.

    读者自己证明．

    推论 若则当时，有

特别地，若则当时，有

2.2  函数的极限    

 

数列{}作为定义在自然数集上的函数，它在直角坐标系内应该有图形，例如：

=

 

图2-2-1

    使得

    对于函数的极限，我们也可以用类似的方法来描述．

2.2.1 时，函数的极限

    1.时，的极限

   

在图2-2-2中，充分大时，函数的值充分地接近常数(=1)，可以充分地小，小于预先给定的无论多么小的正数，更准确地说，图2-2-2中函数满足：时，恒有

<

这时我们称时，以1为极限．

一般地，有如下定义：

    定义2.2.1  设在有定义，如果对，恒有

<

则称函数在时，以A为极限或收敛于A．记为

或

2. 时，的极限

 

    图2-2-3中，时，．

 

定义2.2.2  设在有定义，如果时，恒有，则称函数在时以为极限，记为或

 

3. （即）时，的极限．

        上图的函数在和时，都有．

　　定义2.2.3  设在有定义，对当时，恒有

则称在时，以为极限或称在时收敛于．记.

    定理2.2.1  设在上有定义，则存在和都存在并且相等．

    证明：()  设

    使得时，有.  故,

时，有

并且，时，也有

所以，                =

      设=

    对则时，有

又，从而时，有

令则，有

所以，

2.2.2 在时的极限

    图2-2-5中，函数满足：当充分地接近时，充分地接近，即 时，恒有

    定义2.2.4  设在的某个去心邻域内有定义，如果时，当时，恒有

则称在时以为极限，或称收敛于，记为

2.2.3 单侧极限

    1. 左极限

    设在的某个左半邻域有定义，如果当时，有

则称在时以为左极限，记为

或.

    2. 右极限

    设在的某右半邻域(内有定义，如果当时，有. 则称在时以为右极限，记为

    函数在的左、右极限统称为在的单侧极限．

    定理2.2.1　存在和均存在，并且

=

  

   由上可知，函数极限共有六种形式：

  

 

 

 

典型例题：

 

例2.1.1 证明：=1

    证：(无论多么小)，要找自然数，使得时，有

只需找，使得，即可．

　　取，则当时，有

所以，使得时，恒有

故

 

    例2.1.2  设数列{}有界，又，证明：．

    证  因为有界，所以，使得，有

．

又因为，所以

　，使得时，恒有

.

且也有             

故

 

    例2.1.3  设…，(n个9)．

    问：求出，使得时，与极限之差的绝对值小于预先给定的正数．特别地，当=0.0001时，求出具体的．

    解

    时，恒有

所以．

    特别地，若则，即当时，有