【课程】西南科大网教学院_数学分析07_2.4 极限存在准则与两个重要极限

2.4  极限存在准则与两个重要极限

 

2.4.1极限存在准则I与

    准则I(两边夹定理） 设是三个数列，如果满足下列条件：

    (1)

    (2)

则存在，且

    证：因为，

    所以，当时，有，即

同时当时，有，即

 

取，故当时，有

即                             

所以存在，且

 

    准则I(两边夹定理）　设是具有相同定义域上的三个函数，如果满足下列条件：

    (1) ， I

    (2)

则存在，且．

    证：这里我们只证的情况，其余五种情况的证明完全类似．

    因为            

所以， 时，有：

即                         

同时，时，有：

即                         

_所以，，取当时，有：

即                             

故                             

 

    2.4.2  准则II与

    准则II  单调递增（递减）有上界（下界）的数列，必存在极限．

2.4.3 函数极限与数列极限的关系

 

上面2.1节和2.2节我们分别定义了数列极限和函数极限，那么，这两种极限之间有什么联系呢？ 定理2.4.1使得两种极限可以互相转换.

定理2.4.1 (海涅定理. H.E.Heine, 1821-1881年，德国数学家)

的充分必要条件是对于任意的数列（其中每个），如果，则.

海涅定理是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁，这个定理的证明我们放到本教材的下册实分析基础部分中来完成，根据海涅定理的必要性，函数在的极限有六种形式，因而海涅定理相应也有六种形式，读者可分别写出其他五种相应的海涅定理.

 

典型例题：

 

    例2.4.1  求极限．

    解：因为<

且，由准则I知

 

    例2.4.2   求下列各极限．

       (1)                            (2)    

       (3)                         (4)

   

解：(1)

        (2)

           

        (3)

        (4)     (令)

               (令)

          

  

    例2.4.3  计算下列各极限．

     (1)           (2)          (3)  

    解：(1)

 

    (2)  

              

(3)