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【课程】西南科大网教学院_数学分析07_2.4 极限存在准则与两个重要极限

2017-11-06  百眼通学习

2.4  极限存在准则与两个重要极限

 

2.4.1极限存在准则I

    准则I(两边夹定理) 设是三个数列,如果满足下列条件:

    (1)

    (2)

存在,且

    证:因为

    所以,时,有,即

同时时,有,即

 

,故当时,有

                             

所以存在,且

 

    准则I(两边夹定理) 设是具有相同定义域上的三个函数,如果满足下列条件:

    (1) I

    (2)

存在,且

    证:这里我们只证的情况,其余五种情况的证明完全类似.

    因为            

所以, 时,有:

                         

同时,时,有:

                         

所以,,取时,有:

                             

                             

 

    2.4.2  准则II

    准则II  单调递增(递减)有上界(下界)的数列,必存在极限.

2.4.3 函数极限与数列极限的关系

 

上面2.1节和2.2节我们分别定义了数列极限和函数极限,那么,这两种极限之间有什么联系呢? 定理2.4.1使得两种极限可以互相转换.

定理2.4.1 (海涅定理. H.E.Heine, 1821-1881年,德国数学家)

的充分必要条件是对于任意的数列(其中每个),如果,则.

海涅定理是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁,这个定理的证明我们放到本教材的下册实分析基础部分中来完成,根据海涅定理的必要性,函数的极限有六种形式,因而海涅定理相应也有六种形式,读者可分别写出其他五种相应的海涅定理.

 

典型例题:

 

    2.4.1  求极限

    解:因为<

,由准则I

 

    2.4.2   求下列各极限.

       (1)                            (2)    

       (3)                         (4)

   

解:(1)

        (2)

           

        (3)

        (4)     ()

               ()

          

  

    2.4.3  计算下列各极限.

     (1)           (2)          (3)  

    解:(1)

 

    (2)  

              

(3)

 

           

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