【课程】西南科大网教学院_数学分析17_5.2 罗必塔法则

5.2 罗必塔法则

 

如果两个函数, 当(或)时都趋于零, 或者都趋于无穷大, 则极限可能存在, 也可能不存在.  通常我们把这两类极限分别叫做型或型不定式, 它们的极限不能用通常的极限运算法则进行计算.  本节根据柯西中值定理, 推证出一些利用导数求极限的简单方法,. 这种方法通常称为罗必塔法则.

5.2.1 型不定式

定理5.2.1.（罗必塔法则1）若函数与满足下列条件：

    (1) 在点a的去心邻域内可导且；

    (2) ；

    (3) ．

则                    

    证  因，故可以分别对与在处补充定义，得二新函数

 

，

    在的邻域内都连续，从而，，在闭区间满足柯西中值定理的条件，所以存在使得

于是，         

同理可证：，从而．故

                                           □

    定理5.2.2（罗必塔法则2）若函数与满足下列条件：

    (1) 在内可导，且；

    (2) ；

    (3) ．

则      

    证法 应用变换式，将变成，而函数与在的去心邻域内满足罗必塔法则1．

    证  设，当时，有，即

且 ,  根据罗必塔法则1，有

即

                                      □

5．2．2  型不定式

    定理5.2.3（罗必塔法则3）若函数与满足下列条件：

    (1) 在点a的去心邻域内可导且；

    (2) ；

    (3) ．

则

    证 由条件(2)，可设与在内都不等于零．现在我们证明．

    因，故对，使得时，恒有

                                           (4)

 

    任取，在区间满足柯西中值定理的条件，因此，存在使得

由(4)，有

                                          (5)

另一方面，

由式(5)，上式右端第一个因子是有界变量，第二个因子对固定的，由条件2)，当时极限为0．因此，存在，使得，有

                                      (6)

综合(2)、(3)，对，有

从而                        

    同理可证：               ．

即                     .                   □

    定理5.2.4（罗必塔法则4）若函数与满足下列条件：

(1)    在内可导，且；

 

    (2) ；

    (3) ．

则                        . 

此定理与罗必塔法则2的证明方法完全类似，我们留给读者作为练习．

细心的读者可能在上述各定理的证明中已经看到：单边极限的情形（即，或）也有相应的罗必塔法则．读者在实用微积分中已经看到这些法则在求极限中有着很好的应用．

从上面可知：罗必达法则求极限实际上是将函数之比的极限归结为它们的导数之比的极限．在求极限过程中，如果使用一次罗必达法则仍是型或型，还可以继续使用罗必达法则，直到不是型或型为止．.

 5.2.3 其他类型的不定式

我们用“0”和“1”分别表示0和1为极限的函数,不定式除型和型外，还有五种：．这五种不定式都可以转化为型或型．

 

典型例题：

    例5.2.1  求下列各极限．

     (1)                     (2)

解：(1) 

 (2) 

    例5.2.2  求下列各极限．

(1)                (2)

 

    解：(1)

           

        (2)

例 5.2.3 求下列各极限

(1)                                   (2) 

解　(1) ===;

(2)  ====0·1=0

例5.2.4  求下列各极限

(1)    

(2) 计算.

    解：(1)  .

     (2) ,  

    对于，存在，使，即，应用n次罗必达法则，有：

故

    例5.2.5  计算

    解：=

          

    例5.2.6  计算  

    解：

其中　

       

从而,            

    例5.2.7  计算   (型)

    解：

    例5.2.8 计算  

    解：

    例5.2.9  计算  

    解：=