【课程】西南科大网教学院_数学分析29_9.1 数项级数的基本概念及简单性质

第九章  级  数

9.1  数项级数的基本概念及简单性质

理解数项级数的概念， 了解级数收敛的概念，了解级数的基本性质， 掌握几何级数收敛的条件。

9.1.1 数项级数的收敛与发散

定义9.1.1  给定一个数列，即

                                             (1)

将数列(1)的项依次用加号连接起来的表达式，即

                                         (2)

或简写为                     (或 )

该数列被称为数项级数，简称级数．中每一个数都称为级数(2)的项，称为级数(2)的通项．

定义9.1.2  若级数(2)的部分和数列收敛于有限数S（即），则称级数(2)收敛，称S为级数(2)的和，记作

若数列发散，则称级数(2)发散．

9.1.2 收敛级数的基本性质

性质9.1.1  若级数与级数都收敛，则

    (1) 级数也收敛，且；

(2) 级数（k为常数）也收敛，且

性质9.1.2  在级数前面去掉或增加有限项而得到的一个新级数，其敛散性与原级数相同．

性质9.1.3  收敛级数的任一组合级数皆收敛，并且与原级数有相同的和．

定理9.1.1（数项级数收敛的柯西准则）  级数收敛的充分必要条件是对任意，存在自然数，当时，对一切自然数P，都有

这里为级数的部分和．

9.1.3 级数收敛的必要条件

定理9.1.2（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则

    典型例题：

例9.1.1  讨论级数的敛散性．

    解  因为

因而，不存在．

所以，是发散级数．

例9.1.2  讨论公比为r的几何（等比）级数

的敛散性．

    解  当时，的部分和为

    当时，由于，此时原级数收敛，其和为．

即            .

当时，由于，此时原级数发散．

    当时，有，此时原级数发散．

    当时，级数(3)为：，当n为奇数时，；而当n为偶数时，．于是不存在，从而原级数发散

综上所述，可得如下结论：公比为r的等比级数，当时收敛，其和为；当时发散．

例9.1.3  级数称为调和级数，试证明其发散．

证  因为对于任何自然数，有

故不满足定理9.1.1的充分性，因而调和级数发散.