第 3 讲 全等三角形热门题型2 配合《全等三角形》教学进度 (注:适合于人教版八年级) 热门题型2:因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边),所以在处理角的平分线的问题时,常作出全等三角形的第三个条件,截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形. 典例赏析 题目:如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,BQ是∠ABC的角平分线.求证:BQ=CQ 【分析】由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°,再由角平分线就可以得出∠QBC=40°,就有∠QBC=∠C而得出结论。 变式题组 题1(条件叠加): 在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线.求证:BQ AQ=AB BP.
【分析】延长AB至M,使得BM=BP,连结MP,根据条件就可以得出∠M=∠C,进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论. (注:这题的解法很多,具体思路详见公众号【模型思想】“角平分线”对称变换模型) 题2.(一般性探究) 在△ABC中,∠ACB=α,AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线. 当∠BAC= 时,仍有BQ AQ=AB BP结论成立.
【分析】根据题(1)的证明可知,只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立,故答案为:180°﹣3α. 题3(深层探究): 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于D点,求的值.
【分析】过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,过C作CH⊥AB于H,解直角三角形求出DM、DN、CH值,根据三角形面积公式求出即可. 故答案为:=. 【点评】本题考查了解直角三角形,三角形面积的应用,主要考查学生的推理能力,关键是得出等式AB·AD AC·AD=AB·AC. 达标检测 1.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC. 2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,求证:DM=DN. 3.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为 . 4.如图,点P是△ABC外一点,AP平分∠BAC,PD垂直平分线段BC,交BC于点D,PE⊥AB,垂足为点E,PF⊥AC,交AC的延长线于点F. (1)直接填空:垂线段PE与PF的数量关系是 ; (2)求证:BE=CF; (3)若AB=a,AC=b(a>b),试用含a、b的代数式表示AE·CF. (注:请认真对照以上四个图形,发现图形演变的过程,并归纳我们在处理角的平分线的问题时,常用的解题思路!) 从即日起本公众号将陆续推出,八年级同步培优微专题系列,以顺应教学之需求! “攀峰随笔”公众号,微信号panfeng0077 特别声明:本号所有文章均为攀老师原创,旨在服务于更多的学生,还有与攀老师一样爱数学,爱钻研的朋友们!任何不加出处的转载都需要获得作者的授权! 静生思维,做一个有思维的数学人!在教学和阅读中,寻找写作的灵感! 从数学随笔做起,把这一件简单的事坚持下去,不管路有多远, 那怕这就是一场孤独的旅程, 为了学生,为了自己的梦想,勇敢地走下去!不忘初心! “ 努力,坚韧! 加油,迎风奔跑。” |
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