图文讲解【2018河北中考数学15题】阴影部分的周长是多少？

【中考真题】

（2018·河北·15题·2分）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．4.5 B．4 C．3 D．2

【思路探究】

根据题中条件“点I为△ABC的内心”，所以点I是△ABC三条角平分线的交点，因此需要连接AI，BI，再根据平移可知AC∥DI，BC∥EI，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，得出有关的角相等，再由等角对等边得到AD=DI，BE=EI，从而求出阴影部分的周长．

【解答过程】

解：如图，连接AI，BI，

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI，

又由平移可得：AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID，

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI，

同理可得：BE=EI，

∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，

即图中阴影部分的周长为4，故本题选B．

【考法解读】

本题考查了三角形的内心、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．本题以平移为背景，将以上知识巧妙的交汇在一起进行了考查，突出考查了几何直观和逻辑推理能力．

【知识方法】

本题除了用到角平分线的定义和平行线的性质之外，最主要考查了两个重要的知识，一是三角形的内心，二是图形平移的性质．

与三角形的内心有关的知识：

（1）三角形内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

（4）在遇到有关三角形内心的问题时，经常连接内心与三角形顶点，然后利用角平分线去解决有关角度的问题．

与图形的平移有关的知识：

（1）平移的条件：需要知道平移的方向和平移的距离．

（2）平移的性质：

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（全等）．

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

此外，本题图形中还考查了一个常用的几何图形的基本模型，即“角平分线+平行线”型图形．如图，本题中AC∥DI，AI平分∠CAD，则有∠CAI=∠DAI=∠AID，AD=DI．

其图形的基本模型为：

∵AB∥CD，CB平分∠ACD，

∴∠1=∠2=∠3，AB=AC．

因此在解决有关问题中，善于从较为复杂的图形中发展这样的基本图形，就可以更加快捷准确的抓住问题的关键加以解决，可以大大提高解题的效率和准确率．

【变式训练】

〖习题1〗如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC=3，AB=4，则DE的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；

根据平行线的性质得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；

所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，则AD=AC，AB=AE；

所以DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7；故选B．

〖习题2〗如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC=195°，则∠BAC的大小是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

解：∵I是△ABC的内心，

∴∠IBC=1/2∠ABC，∠ICB= 1/2∠BCA，

∵∠DIB+∠EIC=195°，

∴∠DIE+∠BIC=165°，

由折叠过程知∠BAC=∠DIE，

∴∠BAC+∠BIC=165°

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，

∴∠IBC+∠ICB=90°﹣1/2 ∠BAC，

又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）=180°，

∠BIC+（90°﹣ 1/2∠BAC）=180°，

∴∠BIC=90°+ 1/2 ∠BAC，

∴∠BAC+90°+ 1/2 ∠BAC=165°，

∴∠BAC=50°，故选B．

〖习题3〗如图，I是△ABC的内心，且AB+BI=AC．若∠ABC=82°，则∠BAC的度数为（ ）

A．41° B．52° C．57° D．68°

解：如图，在AC上取AD=AB，连接ID，IC，

∵IA平分∠BAC，

∴∠BAI=∠DAI，

在△ABI和△ADI中，因为：

∴△ABI≌△ADI，∴ID=IB，∠ADI=∠ABI= 1/2 ∠ABC=41°，

∵AD+CD=AC，AB+BI=AC，∴CD=IB，

∴ID=CD，则∠DCI=∠DIC，

又∵IC平分∠ACB，

∴∠BCI=∠DCI=∠DIC，

∴ID∥BC，

∴∠ACB=∠ADI=41°，

在△ABC中，

∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB

=180°﹣82°﹣41°=57°，

故选C．

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