《勾股定理逆定理》的教学反思

《勾股定理逆定理》的教学反思

安徽阜阳市颍州区程集镇中心校(236000)

宋培武

[摘 要]大多数教材对勾股定理的证明和应用安排得很丰富，而对勾股定理的逆定理的证明和活动安排得较少，重视不够.教材中关于勾股定理的逆定理的证明方法多数采用了“同一证法”，学生对此证法陌生.而“过一点作某直线的垂线”这一常见的辅助线没有得到应有的重视.对勾股定理的逆定理的教学进行深度的反思具有实际意义.

[关键词]勾股定理;逆定理；反思

勾股定理是直角三角形重要的性质定理，它在整个中学数学教学中的地位极为重要.有关勾股定理的证明和应用，在各种版本的教材中都安排有丰富的内容.而对勾股定理的逆定理的证明及应用安排得不够到位.尤其勾股定理逆定理的证明方法，大都采用“同一证法”，学生理解难度大，在实际教学中颇感不顺畅.

一、勾股定理的逆定理的证明

人教版、苏教版教材对勾股定理逆定理的证明如下.

图1

如图1，已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b,AB=c，a2+b2=c2，求证：△ABC是直角三角形.

证明：画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°.则A′B′2=a2+b2=c2,得A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′.

∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=90°.

∴△ABC是直角三角形.

这一证法看似简单，但对于学生而言，思维跨度大，与学生现有知识不接轨.首先，构建一个与已知三角形全等的三角形，对于大部分学生而言已属困难，况且所构建的三角形不在原图上，而是另选他处，这一点更加出乎学生意料.其次，本证法的辅助线条过多(共3条).第三，同一证法在整个平面几何中较少使用.那么，站在学生的角度，大部分学生会怎么想呢？

图2

如图2，过C点作CD丄AB，D为垂足，这样的辅助线会成为众多学生的首选.因为通过此辅助线，可以构建众多的直角三角形，从而可以使用勾股定理.证法如下.

设CD=h,得AD=;BD=

∴c=+ ①

又∵c= ∴=+ ②

将②式两边平方，得h2=× ③

将③式两边平方，得a2b2=(a2+b2)h2，即a2b2=c2h2

∴(ab)2=(ch)2，∴ab=ch.

∴S△ABC=ch，∴S△ABC=ab，

∴b为边a上的高，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形.

此证明方法的辅助线，学生很容易想到，比较接近学生数学现实.但涉及较为复杂的代数运算.用代数运算去证明几何题，目前是学生薄弱环节，而考虑到学生高中阶段特别需要这方面的能力.因此，笔者推荐这种证明法.

二、勾股定理的逆定理的数学活动

不少学生只知道勾股定理如何重要，而对其逆定理的理解不够充分，分不清在什么时候使用勾股定理，什么时候使用其逆定理.加强勾股定理的逆定理的教学力度，有利于学生知识体系的形成.为此，本人提出如下教学建议.

1.梳理知识的脉络

从教材对几何图形的研究思路上看，先给出其定义，然后去研究它的性质、判定和应用.不少教材都把《勾股定理》作为这一章的章名.这显然是为了突出勾股定理的重要性.笔者认为,勾股定理无论如何重要，它只是直角三角形的性质定理之一.这一学习阶段，学生应该对直角三角形的定义、性质、判定和应用等有一个整体的认知.目前直角三角形的主要性质有三个：1.直角三角形两个锐角互余；2.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；3.勾股定理.直角三角形的判定应是上述三命题的逆命题.即1.两内角互余的三角形为直角三角形；2.若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形；3.勾股定理的逆定理.把勾股定理及其逆定理放到这样的体系中去探究，更有利于学生思维的发展.因此，笔者建议本章的章名改为《直角三角形》.

2.增加“作垂线”的专题学习

辅助线的教学是数学教学的神来之笔，学生对它既神奇又困惑.本章题目所涉及的辅助线很多，但最常见的辅助线应该是“过某点作某直线的垂线”(简称“作垂线”).中学数学的很多计算题、证明题的最终解决都放在某一个直角三角形里进行，而直角三角形的出现离不开“作垂线”.因此，在勾股定理的逆定理之后，安排一个“作垂线”的专题学习十分必要.下面再推荐一个用“作垂线”证明勾股定理的逆定理的方法.

图3

如图3,作CD丄AB,D为垂足，E为AB的中点，连接CE.

设CD=h,AD=x,BD=y.则a2=y2+h2 ①

b2=x2+h2 ②

①+②得a2+b2=x2y2+2h2，又∵a2+b2=c2，

∴c2=x2+y2+2h2,又∵c=x+y,

∴(x+y)2=x2+y2+2h2,整理得：h2=xy.

∵DE=(x+y)-y=(x-y),

∴DE2=(x-y)2

∴CE2=CD2+DE2=xy+(x-y)2=(x+y)2.

∴CE=(x+y)，即CE=AB，∴△ABC是直角三角形.

“作垂线”为勾股定理的使用提供了一个平台，今后涉及面积问题、相似三角形问题和锐角三角函数问题等都与“作垂线”相关.

3.“反证法”的安排

用反证法证明勾股定理的逆定理也很贴近学生的现实.遗憾的是，大部分教材把“反证法”安排在九年级《圆》一章中.笔者认为这样安排，在时间上太靠后，不利于学生思维发展.如果安排在本章,既能拓展勾股定理的逆定理的证明思路，又能巩固“作垂线”的思维训练.下面用反证法证明勾股定理的逆定理.

图4

图5

(1)若∠C>90°时，作AD丄BC于D点，如图4所示.

设CD=x,AD=y.

则b2=x2+y2，①

c2=y2+(a-x)2，②

②-①得c2=a2+b2-2axa2+b2.

这与c2=a2+b2相矛盾

∴∠C不可能是钝角.

(2)若∠C<>A点作AD丄BC,D为垂足，如图5所示.

设CD=x,AD=y,

则b2=x2+y2，①

c2=(a+x)2+y2，②

②-①得c2-b2=a2+2ax，即c2=a2+b2+2ax>a2+b2.

这与c2=a2+b2相矛盾.∴∠C不可能是锐角.因此，∠C只能是直角∴△ABC是直角三角形.

(责任编辑 黄桂坚)

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058(2017)26-0009-02