含绝对值的代数式的化简

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识.

一个正实数的绝对值是它本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数；

零的绝对值是零．即

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．

例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；

(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，则a=b；

(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；

(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．

例2 设有理数a，b，c如果，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．

化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2+(1+x)｜｜

例4.若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

参考答案：

例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；

(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，则a=b；

(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；

(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．

解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．

(2)对．

(3)对．

(4)不对．当a≥0时成立．

(5)不对．当b＞0时成立．

(6)不对．当a＋b＞0时成立．

例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．

再根据绝对值的概念，得

｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．

于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2+(1+x)｜｜

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

=｜3+｜3+x｜｜

=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

=｜-x｜=-x．

例4若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．

(1)当y=2时，x+y=-1；

(2)当y=-2时，x+y=-5．

所以x+y的值为-1或-5