河南中考中的折叠问题（2）

xfshok 2018-01-21

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编者按：针对河南省的中考数学试卷的第22题几何探究类题目，我们曾以【每日一题】的形式推出过专题系列（可点击文章底部的文章汇总到达相应的页面）。今天针对河南省中考数学试卷的第15题几何折叠问题，我们转载陈铁成老师的两篇文章给大家，供大家交流学习，在此向陈老师的辛勤劳动表示感谢。

例3、（2015河南.第15题）如图，正方形ABCD的边长是16，点E是AB边上一点，AE=3，点F是BC边上不与B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处.若△DB'C恰为等腰三角形时，则DB'的长为 .

分析：图中有两个动点，点F和点B'.点B'的运动是由点F的运动引起的，将点F看做主动点，而点B'是从动点.点F的轨迹很显然是线段BC（端点除外），那么点B'的轨迹是什么呢？由折叠的性质可知，EB'=EB.所以点B'在以点E为圆心，AB的长为半径的圆上运动（通过作图和计算均可得到，当点F与点C重合时，点B'仍落在正方形内部），所以点B'的轨迹是圆上的一部分.如图2：

上面我们知道点B'在弧上，下面再来确定点B'的具体位置.题中给出△DB'C是等腰三角形，但并没有说明底和腰分别是哪条边，所以需要分类讨论.对于等要三角形的分类，分为以下三种情况：（1）DC=DB'，（2）CD=CB',（3）B'D=B'C（分类书写时注意将顶角顶点放在第一个字母的位置，依次轮换）.

当DC=DB'时，可知点B'在以点D为圆心，DC的长为半径的圆上.此时前弧和圆圆的交点，即为点B'的确定位置.如图3：

当CD=CB'时，此时点B'在以点C为圆心，CD长为半径的圆上.前弧和圆的交点即为点B'的位置.（实际上这红情况是不符合题意的，具体原因请大家先尝试分析）.如图4：

当B'C=B'D时，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得，此时点B'的轨迹是线段CD的垂直平分线.此时前弧和线段CD的垂直平分线的交点即为点B'的确定位置.如图5：

我们把上面确定等腰三角形的方法成为“两圆一线”这种方法在等腰三角形的分类讨论中经常用到，大家用心体会.

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解：（1）当DB'=DC时，易知DB'=16；

（2）当CD=CB'时，如图6：

因为CD=CB，所以CB=CB'，所以点C在线段BB'的垂直平分线上.由折叠可知，EB=EB'，所以点E在线段BB'的垂直平分线上，因此直线EC是线段BB'的垂直平分线.根据轴对称的性质可以知道，EF也是线段BB'的垂直平分线.此时点F与点C重合.这与点F是不与点B、C重合的点相矛盾.舍去.

（3）当B'D=B'C时，如图7：

过点B'作B'N⊥CD于点N，交AB于点M.根据等腰三角形三线合一可知DN=CN=1/2CD=8=BM，所以EM=13-8=5.在Rt△EB'M中，可求B'M=12.所以B'N=16-12=4.在Rt△DB'N中，DB'=√8^2+4^2=4√5.

综上所述，DB'=16或4√5

例4、（2016河南.第15题）如图，已知AD//BC,AB⊥BC，AB=3，点E是射线BC上一个动点.连接AE，将三角形沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B'为线段MN的三等分点时，BE的长为 .

分析：分析题意可知，随着点E的运动点B'的位置也在不断变化，进而引起线段MN位置的变化.首先来确定点B'的位置.由折叠可知AB=AB'，而点A是定点，所以点B'在以点A为圆心，AB的长为半径的圆上运动（实际应该是圆上的一部分）；同时点B'还是线段MN的三等分点，根据平行线分线段成比例可知，作出线段AB的三等分点，再过等分点分别作BC的平行线一定可将MN三等分，这组平行线和前弧的交点即为点B'的确定位置.如图：