从自然数到有理数

看完本文后你至少会明白：

1. 自然数是否包括0
2. 有理数为什么可以用pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$这种形式唯一表示
3. 如何从自然数很自然地过渡到有理数
4. 如何证明2–√$\sqrt{2}$不是有理数

简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, ...这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧¹，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如：

1−2=?$$1-2=?$$

在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数，

−1,−2,−3,...$$-1,-2,-3,...$$

自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, ...这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义²。

在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如4÷3$4÷3$的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$这种形式的数，这里p$p$和q$q$都是整数并且q≠0$q\ne 0$。整数也可以写成pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$这种形式，比如2=21=−4−2$2={\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{-4}{-2}}$，所以整数也是有理数。但是每个有理数的pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$表示形式并不是唯一的，比如24${\displaystyle \frac{2}{4}}$、12${\displaystyle \frac{1}{2}}$、−2−4${\displaystyle \frac{-2}{-4}}$这三个都表示同一个数，为了让有理数的pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$表示形式唯一，我们可以规定p$p$是正整数，并且p$p$和q$q$没有比1大的公因子³，那么不能用pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明2–√$\sqrt{2}$不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到2–√$\sqrt{2}$这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。
我们首先假设2–√$\sqrt{2}$是有理数，那么2–√$\sqrt{2}$就可以用pq${\displaystyle \frac{p}{q}}$这种形式唯一表示，即

2–√=pq$$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$$

，按规定p$p$和q$q$没有比1大的公因子，接下来我们将导出与这个观点相悖的结论出来。对这个等式两边平方并稍作变换得到

p2=2q2$$p^2=2q^2$$

，那么p2$p^2$就是偶数了，显然p$p$也必须是偶数，便有p=2p0$p=2p_0$，p0$p_0$是整数，把前面等式的p$p$换作2p0$2p_0$后有4p20=2q2$4p_0^2=2q^2$，即2p20=q2$2p_0^2=q^2$，这说明q2$q^2$是偶数，显然q$q$也必须是偶数，这就证明了p$p$和q$q$有公因子2，这与前面的“p$p$和q$q$没有比1大的公因子”这个规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设2–√$\sqrt{2}$是有理数，这就证明了2–√$\sqrt{2}$不是有理数⁴。
References :

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1. Terence Tao, Analysis I, third edition, P15↩

2. D.C. Goldrei, Classic Set Theory: For Guided Independent Study, P32↩

3. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2↩

4. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P5↩