折叠 编辑本段 余弦定理公式 cosA=（b²+c²-a²）/2bc cosA=邻边比斜边 折叠 编辑本段 余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质-- a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c) cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c) (物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到) 第一余弦定理(任意三角形射影定理) 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。 折叠 编辑本段 余弦定理证明折叠 平面向量证法∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量) 又∵cos(π-θ)=-Cosθ ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 折叠 平面几何证法在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB \begin{displaymath} cosB=(c^2+a^2-b^2)~2*a*c \end{displaymath} \(\) 折叠 编辑本段 作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。 (3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。) 判定定理一(两根判别法): 若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 减号的值 ①若m(c1,c2)=2,则有两解 ②若m(c1,c2)=1,则有一解 ③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。 注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 判定定理二(角边判别法): 一当a>bsinA时 ①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解 ②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解 ④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ⑤当b<a时，则有一解 二当a=bsinA时 ①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解 ②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解) 三当a<bsinA时,则有零解(即无解) 解三角形公式 例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。 解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3. 由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理 cos A=0 所以∠A=90°. 再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。 解 由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A =4+9-2×2×3×cos60 =13-12x0.5 =13-6 =7 所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用计算器算) 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 折叠 编辑本段 其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
先考虑怎样计算三角形第三边的长 折叠 编辑本段 实际应用在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话:"向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。" "当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类;夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 "同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。 |
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