基于当时的数学方法，祖冲之是怎样用多边形计算圆周率的？

受小时候看《上下五千年》插图的误导，我一直以为祖冲之是用“尺规作图”的方法画了一个很大很大的圆，然后趴在地上一点一点地“割圆”，然后一段一段地测量直线的长度，把它们加起来得到圆周的近似长度，然后除以大圆的直径，得到π的近似值。

后来我意识到祖冲之得到的圆周率太精确了，355/113=3.14159292……，不可能真的是“物理地”测量出来的。

祖冲之密率的精度高达：

为了得到这个数，祖冲之把圆分成了12288等分。假如祖冲之真的是一段一段测量这个12288多边形的话，意味着祖冲之测量了12288次，每次测量都不可避免有误差，人眼的最小分辨率是大约δ=0.1mm。这意味着祖冲之的周长L需要把N=12288次独立测量的长度加起来，这个误差是：

圆周率等于圆周长L除以圆直径D，假设圆直径的测量没有任何误差，实测圆周率的误差是：

这意味着祖冲之要画一个很大很大的圆：

至少直径30公里的圆，这是不可能的。所以祖冲之一定是用数学方法计算的。

步骤如下：

12288可以被6整除，假设我们由一个正六边形出发。即做一个半径r为1的圆，然后再做这个圆的内接正六边形。

从圆心O出发向六边形的一条边AB做垂线OP，P是这个垂线与圆的交点，Q是OP与AB的交点。假设OQ=h，QP=b；

考虑直角三角形OAQ，假设AB=l（这里l=1），AQ=l/2；我们现在可以求出h和b，

我们可以求出AP，假设为l'，

对正六边形来说r=1，l=1，由此可计算出h，b，l'。

这个过程可以一直进行下去，比如我们现在考虑正12边形，

现在r,l是已知的，我们可以用跟以上完全相同的公式推出新的l'。

我们多做几次，就可得到一个正12288边形。现在得到的l是有数学公式的，所涉及的计算只有开方，只要祖冲之会精确地算开方，他就能计算出正12288边形的边长，然后可算出精确的圆周率π=Nl/2。

我们可以编个程序来完成此项工作：

计算的结果是：π=3.14159261937，精度高达10的8次方之一。当然祖冲之为了帮助大家记住这个数，用一个分数355/113来表示（这个分数是通过“调日法”得到的），这实际上还让精度降低了一些。

不得不说，在没有计算机的年代，祖冲之能不怕繁琐，把这个数搞出来还是很令人钦佩的。