如何通俗解释欧拉公式？

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1  的由来

 ，这个就是  的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

• 从自然数扩张到整数： 增加的负数可以对应“欠债、减少”

• 从整数扩张到有理数： 增加的分数可以对应“分割、部分”

• 从有理数扩张到实数： 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ ）”

• 从实数扩张到复数： 增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会  到底等于多少，我们规定  没有意义就可以了嘛，就好像  一样。

我们来看一下，一元二次方程  的万能公式：其根可以表示为：  ，其判别式  。

•  ： 有两个不等的实数根

•  ： 有两个相等的实数根

•  ： 有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？

我们再看一下，一元三次方程  ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考维基百科，但愿大家能够打开。

我们讨论一下  ，此时，一元三次方程可以化为  ，其根可以表示为：

其中  。

判别式为  ，注意观察解的形式，  是被包含在根式里面的。

•  ： 有一个实数根和两个复数根

•  ： 有三个实数根，当  ，根为0，当  ，三个根里面有两个相等

•  ： 有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

我们来动手玩玩单位圆：