什么是向量？

1 物理中的向量

向量，这是一个古老的物理概念。亚里士多德就知道力可以分解为向量，伽利略更是清晰的阐述了向量如何合成。

在物理中，向量可以代表力、速度或加速度等，是一个具有方向和大小的几何对象，比如下面篮球的瞬时速度就可以用这样一个几何对象来表示：

篮球运行速度的大小和方向，可以用一个有向线段来表示。将有向线段的起点与终点分别表示为字母  。则向量表示为  ：

为了书写方便，向量也可以用一个字母来代替，比如  也可以用  来表示。

既然向量是具有方向和大小的几何对象。那么只要大小相等，方向相同，向量自然也就相等：

2 数学中的向量

物理是物理，一向讲究差不多就行，甚至认为“近似”是物理的精华。

但是数学不能这么干，说向量就是一个具有方向和大小的几何对象，这事情数学干不出来。

“严格性虽然不是数学的一切，但是没有了严格性数学就没有了一切”。

我们来看看数学是怎么定义和认知向量的。

2.1 复数与向量的关系

在历史上，把向量尝试数学化的过程中，首先想到的是复数。

在当时，复数已经是一个严格的数学概念了。而复平面上的每个点，比如 ，都可以视为向量，即下图中的  向量，其中  为平面坐标的原点：

更关键的是，复数的部分运算法则也和向量运算法则吻合（运算法则之后会讲），看起来确实可以把向量给复数化。

数学家发现复数与向量之间关系的时候，眼睛一亮，雄心勃勃，想一下解决两个问题：

• 兼容实数，扩展数系

• 描述二维、三维甚至更高维空间

奈何“不如意事，十有八九”，数学家最后自己证明了这两个目标不可能同时达到（数学家打自己脸，从来不客气）。

复数和向量，最后分道扬镳：

2.2 向量的严格表示

从向量的物理概念出发，向量有一个起点和一个终点。

比如，这么一个向量  ，我们把它的起点放在原点  点，终点放在  点，就可以画出这个向量：

在数学中，我们始终遵循向量的起点在原点  ，那么我们就可以用终点的坐标来表示向量，即上面的向量可以表示为：

这样，向量和空间中的点就建立了一一映射的关系：

往更高维度走也是一样的，刚刚动画中的篮球，既可以看成是三维空间中的一个位置，也可以看成是一个向量：

而超过三维，就无几何意义了。

比如，我想描述一个游戏人物的信息（好不容易找了一个数值居然这么简单的游戏）：

这个时候，我们就需要向量的形式化定义了，如下:

 个有序的数  所组成的数组称为  维向量，这  个数称为该向量的  个分量，第  个数  称为第  个分量。  维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和列向量：

•  维列向量

  

• 与  维行向量

那么之前的人物信息就可以表示为，你可以认为之前游戏图片中的人物属性就是使用的列向量：

或者：

上面两种写法都代表同一个向量，这两种写法到后面矩阵出现了才有区别。

3 向量的长度和方向

其次，物理中的向量有长度和方向。

向量  的长度被记做  或者  ，直观看来就是这样：

目前只能给出长度的标记法，需要等到之后“点积”出现了才能真正计算长度和方向。

需要提醒注意的是，从数学对向量的定义来看，向量只是有序数对，长度和方向并非必须的，但可以通过“点积”给数学中的向量附加上长度和方向，这个后面会详细讲解。

对于向量  来讲，如果交换起点和终点的顺序，就会得到另一个向量  .它们的长度相同，方向相反。即:

1.3.1 零向量

 也是一个向量，它被称为零向量：

起点与终点为同一个点的向量为零向量,被记做  。零向量的长度为零。

3.2 平行的同向

两个具有相同或相反方向的向量平行：

零向量与任意向量平行。

4 结语

本文介绍了数学中向量的基本信息：

• 向量与复数的关系

• 向量是有序对

• 向量大小的标记方法

• 平行的向量

下一节我们将介绍向量的两项基本操作--数乘和加法。