虚数：一个虚构指数的几何意义

毫无疑问，e是电气工程的支柱，它的“虚数”指数随处可见:量子理论、电路，甚至理论数学。e^i这个表达式在我们给它定义和解释之前没有任何意义。我们将从讨论指数e^i开始，然后逐步解释更复杂的形式i^x

在深入研究这个问题之前，需要对虚数单位i进行快速描述。它通常被认为是“虚数”，因为这个值在标准数轴上不存在。这里我将对i和一般复数进行不同的解释，所有复数的集合通常称为复平面，有一个很好的理由:复数可以写成这种形式

对于两个实数a和b，我们可以用平面上的点（a，b）来表示这个复数，这样我们就可以把x轴看作“实”轴，y轴作为“虚”轴。就像平面上的点一样，我们可以把复数看作是向量空间的一部分（也就是说我们可以把它们相加），但是复平面也含有乘法结构运算。与一个实数相乘对应的是复数的“拉伸”，但与i相乘实际上代表了90度的旋转。让我们来看几个例子:

如果我们把1看作是水平轴上单位长度的向量，那么乘以i等于旋转90度，这将使它与y轴上的单位向量对齐，即虚单位i。

这个方程将i解释为-1的平方根。一个更好的解释是从1开始，旋转90度使它垂直于X轴，再旋转90度迫使它回到x轴上，但指向左边。更几何的解释如下所示

从i的角度来看，我们可以对表达式i^n构建一个有意义的解释:它表示n个连续的90度旋转，或n*π/2的总旋转。这个函数的循环性质，在值{1，i，-1，-i}之间循环，如下所示。

现在我们有了足够的背景知识来讨论虚数幂的含义。看我们之前对指数的解释，e^i表示在一个时间单位内以i速率增长的结果。事实上，因为i只是一个旋转，我们可以猜测“以i的速度增长”可能真的意味着“旋转”，但要相信这个猜测，我们将需要一些证明。对于这个问题，回到我们对e^r的定义即增长率r除以单位区间的极限

但这一次，增长率是一个90度的旋转:i。现在，我们将把这个作为e^i的定义

和之前一样，我们会通过观察有限情况来获得一些直观的认识，从而达到极限。假设n=5，这个可以写成

在这里我们可以将括号中的每个量视为对向量1进行处理的一组“方向”向量。在集合之后，我们有了新的向量1+i/5，这可以解释为保持向量1不变，给它加上一个旋转90度，再缩小5倍的值

将第二组括号相乘，然后将这个新的矢量作为输入，并将其自身的一个副本旋转90度，并将其压缩到正常长度的五分之一

执行接下来的三组方向，我们看到如下图片出现:

因此，在我们最初的猜测中，似乎存在某种东西，即虚指数对某种旋转进行编码，在上面的图中，我们可以看到，随着每次旋转，矢量的长度会略微增长。但是当我们在极限中取越来越大的项时，长度的增加会越来越小，实际上，在极限中，我们从向量1开始，在正方向上对它进行无穷小的旋转，然后我们一遍又一遍地重复这个过程，慢慢地将原始向量向正方向旋转得越来越多。我们的极限值就是

我们可以通过数值计算，看到它到达点(0.540302,0.841471)。点在到达终点的路上所追踪的极限路径如下图所示。