复数的三角形式与指数形式

菌心说 2021-03-23

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在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科（或研究生）专业里一门必修课《复变函数》，因此我们有必要对复数了解得更多些。

1. 复数的三角形式

1.1 复数的幅角与模

我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如下图所示）：

这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下：

$a = r \cdot cos\Theta, b = r \cdot sin\Theta$ 式（1）

把它们代入复数的代数形式得：

$a + bi = r\cdot cos\Theta +i\cdot r\cdot sin\Theta = r\left ( cos\Theta + i \cdot sin\Theta \right )$ 式（2）

我们把式（2）叫做复数 $a+bi$ 的三角形式。

1.2 复数三角形式的运算法则

引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

1.2.1 复数的乘法

设：

$Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )$

$Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )$

则：

$Z_{1} Z_{2}= \left [ r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\right ]\cdot \left [ r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\right ]$

$=r_{1}r_{2}\left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} - sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+ir_{1}r_{2}\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} + cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )$

$= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]$

这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量 $Z_{1}$ 的模扩大为原来的 $r_{2}$ 倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角 $\Theta_{2}$ ，就得到 $Z_{1}Z_{2}$ 。

1.2.2 复数的除法

设：

$Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )$

$Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )$

则：

$Z_{1}\div Z_{1} = \frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )}$

$=\frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}$

$=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} + sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+i\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} - cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )\right ]$

$=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ cos\left( \Theta_{1}-\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} -\Theta_{2}\right ) \right ]$

这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量 $Z_{1}$ 的模缩小为原来的 $r_{2}$ 分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角 $\Theta_{2}$ ，就得到 $Z_{1}\div Z_{2}$ 。

1.2.3 复数的乘方

利用复数的乘法不难得到：

$Z^{n} = r^{n}\left ( cos \left ( n\Theta \right ) + i sin\left ( n\Theta \right ) \right )$

这说明，复数的n次方等于它模的次方，幅角的倍。这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模变为原来的次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角 $n\Theta$ ，就得到 $Z^{n}$ 。

1.2.4 复数的开方

对于复数 $Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )$ ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。

设： $Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )$ 的一个n次方根为 $\omega= \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )$

那么:： $\omega^{n}= \left [ \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )\right ]^{n} = \rho^{n}\left ( cos n\varphi +i sinn\varphi \right )$

所以： $r=\rho^{n}, n\varphi = \Theta + 2k\pi ,\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )$

即： $\rho =\sqrt[n]{r}, \varphi = \frac{\Theta + 2k\pi }{n} = \frac{\Theta }{n}+\frac{2k\pi }{n},\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )$

显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。因此，复数z的n个n次方根为:

$\omega _{k} = \sqrt[n]{r}\left ( cos\frac{\Theta + 2k\pi }{n} + i sin\frac{\Theta + 2k\pi }{n} \right ), \left ( k = 0,1,2,3 .... n-1 \right )$

从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差 $\frac{2\pi }{n}$ ,所以复数的个次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的次算术根为半径的圆周上。

因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：

$Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )$

先作出圆心在原点，半径为 $\sqrt[n]{r}$ 的圆，然后作出角 $\frac{\Theta }{n}$ 的终边，以这条终边与圆的交点为分点，将圆周等分，那么每个等分点对应的复数就是复数的次方根。

2. 复数的指数形式

在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加），这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现，对数函数与指数函数：

$a^{x}a^{y} = a^{x+y}$

$log_{a}\left ( xy \right ) = log_{a}\left ( x \right ) + log_{a}\left ( y \right )$

前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：

$Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]$

$\left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}$

根据这个特点，复数 $Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )$ 应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成 $y\cdot a^{x}$ 的形式，这里有三个问题需要解决：

（1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置？

（2）在这些位置上它们应呈现什么形态？

（3）作为指数形式的底应该用什么常数？

再重新观察下面的等式：

$Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]$

$\left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}$

首先，显然模应该占据 $y\cdot a^{x}$ 中系数的位置，其次，幅角 $\Theta$ 应该占据 $y\cdot a^{x}$ 中指数的位置，对于虚数单位，如果放到系数的位置上会怎样?

$\left ( i\cdot ra^{x} \right )^{2} = -r^{2}a^{2x}$

等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）

幅角 $\Theta$ 与虚数单位是相加的关系会怎样？先考察模为1的复数 $cos \Theta+i sin\Theta$ ，如果写成 $a^{i+\Theta }$ 的形式，一方面由于 $a^{i+\Theta } =a ^{i}\cdot a^{\Theta }$ ，与 $\left ( ir \right )a^{\Theta }$ 的形式差别不是很大，其次 $\left ( a^{i+\Theta } \right )^{n} = a^{ni+n\Theta }$ ，在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的倍而没有虚数单位也要倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系。

$Z=ra^{i\Theta }$

现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合：

$Z_{1}Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} + \Theta _{2}\right )}$

$Z_{1}\div Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\div \left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}\div r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} - \Theta _{2}\right )}$

$Z^{n} = \left ( ra^{i\Theta } \right )^{n} = r^{n}a^{i\left ( n\Theta\right ) }$

乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的次方、幅角的倍”的本质特征，下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？我们暂时将 $Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )$ 形式化地看做与 $\Theta$ 的“二元函数”，数学是“形式化的科学”，因此，一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。

下面我们将 $r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) = ra^{i\Theta }$ 等式两边对 $\Theta$ 形式化地求“偏微分”：

$\frac{\partial r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )}{\partial \Theta }$

$=r\left ( -sin \Theta+i cos\Theta \right )$

$=\left [ r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right ) \right ]i$

=Zi

$\frac{\partial }{\partial \Theta }\left ( ra^{i\Theta } \right )$

$=r\frac{\partial a^{i\Theta }}{\partial \Theta }$

$=ira^{i\Theta }ln_{a}$

$=Zi\cdot ln_{a}$

所以 $ln_{a} = 1$ ，得 a=e

这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式

$Z=a+bi = r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right )=re^{i\Theta }$

从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化，对于指数形式的严格证明可以参读《复数的指数形式的证明》

由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：

$\left\{\begin{matrix} cos\Theta + i sin\Theta = e^{i\Theta }\\ cos\Theta - i sin\Theta = e^{-i\Theta }\\ \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} cos\Theta = \frac{e^{i\Theta } + e^{-i\Theta }}{2}\\ sin\Theta = \frac{e^{i\Theta } - e^{-i\Theta }}{2i} \end{matrix}\right.$

这两个公式被统称为欧拉公式；在复数的指数形式中，令 r=1 ， $\Theta = \pi$ ，就得到下面的等式：

$e^{i\pi } = -1$ 或者 $e^{i\pi } +1=0$

它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起：两个超越数——自然对数的底，圆周率 $\pi$ ；三个单位——虚数单位、自然数的乘法单位和加法单位0。关于自然对数的底和圆周率 $\pi$ ，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！令人不可思议的是，它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理解它。

3. 复数的应用

利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点，我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。

3.1 三角级数求和

求解 $\left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha = ?\\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha = ? \end{matrix}\right.$

解：令 $Z= cos \alpha +i sin\alpha$ ，那么对任何自然数有：

$Z^{k} = cosk\alpha + i sink\alpha$

$\Rightarrow Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}$

$= \left ( cos\alpha + isin\alpha \right ) + \left ( cos2\alpha + isin2\alpha \right ) + ..... +\left ( cosn\alpha + isinn\alpha \right )$

$=\left(cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha\right) +i \left( sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha \right)$

另一方面由等比数列的定义可知：

$Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}$

$=\frac{Z(1-Z^{n})}{1-Z}$

$=\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left [ 1-\left ( cosn\alpha + i sinn\alpha \right ) \right ]}{1- \left ( cos\alpha +i sin\alpha \right )}$

$=\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( 2sin^{2}\frac{n\alpha}{2} -2isin\frac{n\alpha}{2} cos\frac{n\alpha}{2}\right )}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2} -2isin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}}$

$=\frac{sin\frac{n\alpha }{2}\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( cos\frac{n\alpha -\pi }{2} + isin\frac{n\alpha -\pi }{2}\right )}{sin\frac{\alpha }{2}\left ( cos\frac{\alpha -\pi }{2} - isin\frac{\alpha -\pi }{2}\right )}$

$=\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left [ cos\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right ) + isin\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right )\right ]$

$=\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left ( cos\frac{n+1}{2} \alpha + i sin\frac{n+1}{2}\alpha \right )$

$=\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}+i\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}$

所以：

$\left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \end{matrix}\right.$

3.2 设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。

分析：此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。

设M、N、A对应的复数依次为： $M\leftrightarrow{x}$ ， $N\leftrightarrow x+yi$ ， $A\leftrightarrow 2$

那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到，用复数运算来实现这个变换就是：

$\vec{AM}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \vec{AN}$

$\Rightarrow\vec{OM} - \vec{OA}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \left ( \vec{ON}-\vec{OA} \right )$

$\Rightarrow {x}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} {x}$

$\Rightarrow \left ( \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2} \right )^{2} +\left ( \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2} \right )^{2} = 1$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2\sqrt{3}y+3=0$

$\Rightarrow \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-\sqrt{3} \right )^{2} = 1$

3.3 3. 设z1、z2、z3 是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是:

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}$

假设结论不成立：

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}$

$\Rightarrow 2z_{1}^{2} + 2z_{2}^{2} +2 z_{3}^{2} = 2z_{1}z_{2}+ 2z_{2}z_{3}+2z_{3}z_{1}$

$\Rightarrow \left ( z_{1} - z_{2} \right )^{2} +\left ( z_{1} - z_{3} \right )^{2} +\left ( z_{2} - z_{3} \right )^{2} =0$

三个向量 $\left ( z_{1} - z_{2} \right )$ ， $\left ( z_{1} - z_{3} \right )$ ， $\left ( z_{2} - z_{3} \right )$ 均为零向量，则三个向量 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 所对应的点是同一个点,与题意不符.