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什么是多面体的外接球，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球为多面体的外接球。 多面体的外接球问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点，当然这热点不是“重点”，而是难点！有多少优秀的孩子们被这个球弄得乱七八糟！ 研究多面体的外接球问题，又要运用球的性质，要命的是还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用，接下来，我们通过几道例题来探讨这类问题的求解策略。 3 定义法 SEE MORE → 例7、矩形ABCD中，AB=6，CD=8，沿对角线AC将平面ACD折起，构成一个四面体，求四面体D-ABC外接球的体积为。 解析：（如图）因为四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等，由矩形的对角线互相平分，可得点O到四个顶点A、B、C、D的距离都相等。所以点O就是四面体外接球的球心，因此，求四面体外接球的半径可转化为先求矩形的对角线长，再计算半径。 实际上，我们可以得到：有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，外接球球心在公共斜边的中点处。 4 构造直角三角形 SEE MORE → 例8、正三棱锥V-ABC中，其中侧棱VA=4，AB=BC=AC=2，求三棱锥V-ABC外接球的半径为。 解析：设正三棱锥底面△ABC外心是E，外接球的球心为O，如图，由球的截面的性质，可得OE⊥平面ABC，又VE⊥平面ABC，所以球心O必在VE所在的直线上，设外接球的半径为R， 5 轴截面 SEE MORE → 例9、三棱锥S-ABC中，其中SA⊥平面 ABC， ∠BAC=30°，且SA=8，BC=3，求三棱锥S-ABC外接球的体积为。 解析：寻找底面△ABC的外心M，过M作底面△ABC的垂线MN，使得MN=SA，则外接球的球心必在直线MN上，因为SA⊥平面ABC，所以四边形AMNS是矩形，且O到A、B距离相等，所以O是MN的中点，所以OA即为外接球的一条半径。 6 向量法 SEE MORE → 例10、如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，M为上底的中心，则三棱锥M-ACF外接球的表面积为。 解析：三棱锥M-ACF没有特殊垂直的关系，不容易找出球心的位置，但是三棱锥M-ACF放置在正方体中，我们可以建立空间直角坐标系，利用球心到四个顶点的距离相等求出球心的坐标，进而计算出半径。
多面体的外接球问题是有关球类的问题的基本题型之一，因为它能全方位、多角度、深层次考察空间想象能力，所以深受命题人青睐。这类问题由于不易画图而变得抽象难解，所以在解决这类问题时首先考虑构造典型的几何体模型，其次寻找球心，通过“截面”把立体几何问题转化为平面几何问题，当然最后还有我们的空间直角坐标系，通过建系发挥空间向量的威力！ |
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