高中数学：运用更换主元法，求参数的取值范围

更换主元，是指在解题过程中将两个字母的主次互换，用未知变量将参数表示出来，使问题达到消元、降次、化归的目的，将复杂问题简单化。利用上述思想，加上利用恒成立；恒成立等结论，可求参数的取值范围。

例1、若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。

分析：当方程或不等式中出现参数时，若将题中已知范围的参数与自变量“主、客转化”，问题就会变得简单。

解：对该不等式，一般是将x看成变量，这样就会使问题变得烦琐，但如果将m看成变量，原不等式可整理为关于m的一次不等式，问题转化为一次函数在区间上恒小于零。故问题等价于解不等式组，解之可得。

例2、设，且恒成立，求m的取值范围。

解：将以为主元转换成以m为主元，由条件知。

（1）当时，。

（2）当时，恒成立，只须2m大于的最大值。

而，由知

当且仅当，即θ=0时等号成立。所以，m>0。

例3、已知二次函数，若时，总有，试求a的取值范围。

解：当x=0时，恒成立。

当x≠0时，，

即，即，即

令，因为，所以，上述问题转化为时恒有，即当时，。

解之得，因a≠0，故。