高中数学：三角函数中的常用数学思想方法

一、方程的思想

例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=平方得

sinθcosθ=。

又θ（0，π），

所以sinθ＞0，cosθ＜0，

且sinθ＞，

将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ=，cosθ=。

从而cotθ=，应填。

二、函数的思想

例2、已知x，y ∈[]，且x³+sinx-2a=0①，4y³+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u³+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得

f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，

所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[]，

所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三、数形结合的思想

例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=

函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四、化归的思想

例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。

解析：因为

=

=

=，

所以，tan²=。

又因为为第四象限的角，

所以tan=，

从而求得tan2=。

五、分类讨论的思想

例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？

解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得

sin(90°-C)=，

所以cos²C=1+sinC，1-sin²C=1+sinC，

所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=

①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

 

六、换元的思想

例6、已知sin³θ+cos³θ=1，求sinθ+cosθ的值。

解析：因为sin³θ+cos³θ

=(sinθ+cosθ)(sin²θ+cos²θ-sinθcosθ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。

设sinθ+cosθ=x()，

则sinθcosθ=。

所以x，

即x³-3x+2=0，(x-1)²(x+2)=0。

因为，

所以x-1=0，得x=1。

所以sinθ+cosθ=1。

 

七、整体的思想

例7、证明cos。

证明：设，

b=，

则ab=

=

=。

因为b≠0，

所以a=。即原式得证。

 

八、类比联想的思想

例8、已知λ为非零常数，x∈R，且f(x+λ)=。问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f(x+λ)=的结构的形式极易与tan(x+)=进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·，故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4λ。

解：f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]

=，

则f(x+4)=f[(x+2)+2]

=。

所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。