【原】高中数学：8种三角函数中的数学思想方法

一. 方程的思想

遇见等量关系，

一定要想着是不是方程。

方程的本质是什么？

是等式的另外一种表达

有一个未知数需要一个方程式

有多个未知数需要多个方程式

以已知的信息推论导出未知信息

这个推导过程就是：

数量关系的发现

数量关系的转换

数量关系的计算

例1. 已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=平方得

sinθcosθ=。

又θ（0，π），

所以sinθ＞0，cosθ＜0，

且sinθ＞，

将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ=，cosθ=。

从而cotθ=，应填。

二. 函数的思想

遇见XY关系，

一定要想着是不是函数。

函数的本质是什么？

是变化关系的数学表达方式

在变化中，

一个要素随着另外一个要素的变化而变化。

最常见的是X与Y的数量关系，

只要是关于X的代数式，

就构建函数关系引入Y或者f(X)。

例2. 已知x，y ∈[]，

且x3+sinx-2a=0①，

4y3+sinycosy+a=0②，

求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u3+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得

f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，

所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[]，

所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三. 数形结合的思想

遇见能画图的一定要画图，

遇见不能画图的，试着构建画图。

函数相关的画图，

作出函数的图像、大概变化趋势、关键节点。

几何相关的画图，

作出几何图形的：

辅助线，连接线，半径、直径、切线、垂直线等。

例3. 函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=

函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四. 化归的思想

化归，

是解题思想，

是思维策略，

更是有效的数学思维方式。

所谓的化归思想方法，

就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。

将复杂问题通过变换转化为简单问题；

将难解问题通过变换转化为容易求解问题；

将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

化归的基本功能是：

生疏化成熟悉，

复杂化成简单，

抽象化成直观，

含糊化成明朗。

说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。

实现方法有：

待定系数法，

配方法，

整体代入法

化动为静

由抽象到具体

由一般到特殊

由特殊到一般

……

例4. 设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。

解析：因为

=

=

=，

所以，tan2=。

又因为为第四象限的角，

所以tan=，

从而求得tan2=。

五. 分类讨论的思想

分类讨论几乎涵盖了所有的科目的主要内容，我们在解决实际问题时经常会遇到不能将问题按统一标准解决，尤其是一些复杂问题和存在多种可能的问题，这就要把问题按照一定的标准去分类，然后综合分类结果得出结论。这种方法就是分类讨论，也就是分情况讨论。

如，

绝对值为5，则可能是正的5，也可能是负的5。

如，

等腰三角形的一个角为为70°，求另外两个角的度数。

这就存在两种情况的几何问题：（1）当此三角形的顶角为70°时，另两个角都为（180°-70°）/2=55°；（2）当此三角形的一个底角为70°时，另一个底角也为70°，顶角为40°。

分类讨论常用在以下类型问题中：

（一）数学概念中的分类讨论。如绝对值、函数图像的增减性等；

（二）几何图形中的不确定性问题需要分类讨论。如动点、图形存在性问题；

（三）含有变量的代数式需要分类讨论。如含有m、n等参数的方程、不等式；

分类讨论的原则：

确定标准、分类的情况既不重复也不遗漏、逐类分级讨论。

例5. 若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？

解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得

sin(90°-C)=，

所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，

所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=

①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

六. 换元的方法

解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一 。利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径 。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.

高中数学中换元法主要有以下两类：

(1)整体换元：以“元”换“式”。

(2)三角换元 ，以“式”换“元”。

(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先观察算式，可发现这种需换元法之算式中总含有相同的式子，然后把它们用一个字母替换，推演出答案，然后若在答案中有此字母，即将该式带入其中，遂可算出。

注意:换元后勿忘还元。

例6. 已知sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ的值。

解析：因为sin3θ+cos3θ

=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。

设sinθ+cosθ=x()，

则sinθcosθ=。

所以x，

即x3-3x+2=0，(x-1)2(x+2)=0。

因为，

所以x-1=0，得x=1。

所以sinθ+cosθ=1。

七. 整体的方法

整体法，就是研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大问题的视角，将要解决的问题看成整体，通过研究得到整体形式或整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。

只有所求的问题含有（或通过变形含有）已知条件中的“整体”才可以使用整体法。

利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。

事实上，有许多数学问题，如果我们纠缠于题目中的“细枝未节”，则解题过程冗繁，还有可能解不出，但若能统观全局，用整体思想方法来处理，则可化繁为简，出奇制胜。

整体代入

若a-2b=3，则9-2a+4b的值为___

【解析】把a-2b=3整体代入9-2a+4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3

解决此类的常规方法是先求出a、b的值，然后代入求值，但将已知式整体代入到变形后的求值式，便十分简捷地求得代数式的值。

例7. 证明cos。

证明：设，

b=，

则ab=

=

=。

因为b≠0，

所以a=。即原式得证。

八. 类比联想的方法

类比联想法是指由某一事物的触发而引起和该事物在性质上或形态上相似事物的联想。当某一事物与另一事物的某个方面一致或类似，我们便可使用类比的思想将一致或类似的两方面来推想、判断出事物在其他不同方面的联系。高中数学中也可通过灵活使用类比的思想方法，将已学的知识与新的知识进行类比，即将数学知识串联起来，引导我们解决复杂、繁琐的数学问题。

类比的分类：

1、降维类比 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。 

2、结构类比 某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。 

3、简化类比 简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。

例8. 已知λ为非零常数，x∈R，且f(x+λ)=。问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f(x+λ)=的结构的形式极易与tan(x+)=进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·，故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4λ。

解：f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]

=，

则f(x+4)=f[(x+2)+2]

=。

所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。