二次函数中动点与等腰三角形的存在性问题

2017年乌鲁木齐市中考数学第24题改编

【思路点拨】

（1）由y＝x＋1可得B（4，5），根据待定系数法，将A、B、C三点坐标代入解析式

y＝ax²＋bx＋c（a≠0），从而求出待定系数a＝－1，b＝4，c＝5；若观察到A、C两点均在x轴上，故可设

y＝a（x＋1）（x－5），（其中a≠0），则计算更为简便，不但省时省力，准确率还会更高.

（2）点P在x轴上运动，因此可设出点P的坐标P（t，0），然后连接PB；根据两点间距离公式，由P、A、B三点的坐标可以分别表示出PA、PB、AB，再根据等腰三角形的性质可以得到关于P点坐标参数t的方程，则可求P点的坐标。注意点P没有说明是在A点的左侧还是右侧，因此表示线段PA的长度时要加上绝对值符号或分类讨论，否则会造成漏解，而选择用绝对值表示比分类讨论更简便，它将多种可能情况的问题交给方程处理。当△ABP是等腰三角形时，没有明确底边和腰，因此要对底边和腰进行分类讨论.

图1

图2

图3

【点评】本题为二次函数的综合应用，难度中等，涉及到待定系数法、勾股定理、两点间距离公式、等腰三角形的性质、方程思想、分类讨论思想等知识。以本题为例，提供了二次函数与等腰三角形存在性问题的通法，运算量虽然较大，但是它能够解决所有这类等腰三角形存在性的问题，而且也可以用于解决直角三角形的存在性问题.