你真的以为你懂三角函数吗？

请听题：三角函数既然是函数，那它的自变量和因变量都是什么？

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

从这张图里可以很明显看到，所谓正弦函数，其实就是圆上任意一点的y坐标（红）和弧长（蓝）之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。

而弧长又和弧度是完全对应的。为什么高中老师不肯用经典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”？就是因为这个对应。1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角，π弧度就是正好半个圆——相应的，之所以 sinπ=0，正是因为当蓝线走了一个π（一个半圆）的时候，正好也走回到了 y = 0 的地方。

图片作者：又是LucasVB（1ucasvb）

那余弦函数呢？留给读者作为练习——

图片作者：还是LucasVB（1ucasvb）

——别打了，我说还不行吗……余弦函数就是圆上任意一点的x坐标和弧长之间的关联，只不过在画函数的时候，把圆上点的x坐标打了个弯，对应成了函数曲线上的y坐标，就像这张图里的蓝线那样。

为了体现余弦函数的这个对应，我们也可以直接把函数本身竖过来，就成了这样：

图片来源未知，但画得这么丑，肯定不是LucasVB

当然，这种对应也可以用在其它几何图形上，只不过就不如圆那么美丽了，比如下面这个丑陋的心形。

图片作者：当然是LucasVB（1ucasvb）

要不为什么说圆是最完美的身材！（并不是）

极坐标的魔法

如何把直角坐标变成极坐标？看我的：

图片作者：依然是LucasVB（1ucasvb）……

这是什么黑魔法……

别急，听我解释，事情就是你看到的那样：

首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。之所以要有这一步，是因为极坐标里我们很武断地把0度定义在了朝右。如果0度是（更自然的）朝上，那就不需要这一步了。

然后，我们把Y轴折弯过来，直到它缩成一个点。成功！

思路是这样的：直线在几何上可以认为是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆，永远不向自身弯折。但如果我们逐渐降低曲率半径，从无限一直降到零，就等于是把Y轴变成一个逐渐缩小的圆、最后变成一个点。而原来直角坐标的“Y轴”所承载的信息，在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

注意，这个转换体现的是极坐标和直角坐标之间不同的对应方式，是把一种对应变成了另一种对应，而不是说把同一个曲线从直角坐标表达式换成极坐标表达式。前后两个是不同的曲线。

正十七边形尺规作图

图片作者：Aldoaldoz

正十七边形可以用尺规作出来，这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说，上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出，而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。（猜猜这个卡莱尔是谁？托马斯·卡莱尔。对，就是那个《法国大革命史》和《论英雄、英雄崇拜与历史上的英雄业绩》的作者。）

那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢？因为他懂数学。他已经知道，如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来，那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。（尺规等价于只使用圆和直线的交点作图，直线的表达式是二元一次方程，圆的表达式是二元二次方程，所以只用到了加减乘除和开平方。）而他又证明了，只要正多边形的边数n是费马素数，那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537，所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

不过，正三边形（好吧，正三角形）和正五边形人们早知道了，而正257边形什么的做起来又太麻烦，所以最后正十七边形成了最出名的。

那么正十七边形的对应三角函数应该怎么表达？高斯的《算术研究》给出了结果：

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难道就没人告诉你，怎么笑着走出考场？