函数、导数、方程、不等式之讨论、判断、证明单调性或求单调区间

一、知识点回顾1.导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0).

(2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”:

①切点在函数图象上,满足函数解析式;

②切点在切线上,满足切线方程;

③切点处的导数等于切线的斜率.

2.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,

(1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;

(2)若f'(x)<>

3.函数的导数与单调性的等价关系函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.

4.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<><0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.

(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.

(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

5.常见恒成立不等式

6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)<>

(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;

(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));

(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.

7.函数不等式的类型与解法

8.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略

二、专题：讨论、判断、证明单调性或求单调区间解题策略一　分类讨论法难点突破

难点突破

(1)讨论f(x)的单调性→求函数的定义域→求导函数→对参数分类讨论→判断导函数的符号→确定单调区间;

(2)讨论a的取值范围→求f(x)导函数→确定f(x)的单调区间→求f(x)取最小值→解不等式f(x)max≥0得a的范围→合并a的范围.

解析

解题心得

利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

解题策略二　构造函数法

难点突破

解析

解题心得

通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估.

三、对点训练

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