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微分法则的导出基于下列事实，所有的基数都是序数，基数当作序数时都有┆n┆=n，虽然我们规定了┆n┆=1，但我们说明了┆n┆=1不参加运算，在运算中我们都取┆n┆=n，这样我们就有一个恒等式┆α+β┆=┆┆α┆+┆β┆┆，当α，β同阶时就有┆α+β┆=┆α┆+┆β┆。 函数的和、差、积、商的微分法则， 一， 函数的和、差的微分法则 设有两个函数u=u（x）和v=v（x）的微分为du=┆⊿u┆，dv=┆⊿v┆，其和y= u（x）+ v（x）， ∵ ⊿y=（u（x+dx）+v（x+dx））-（u（x）+v（x））=u（x+dx）+v（x+dx）-u（x）-v（x）=（u（x+dx）-u（x））+（v（x+dx）-v（x））=⊿u+⊿v ，┆⊿y┆=┆⊿u+⊿v┆=┆⊿u┆+┆⊿v┆， ∴d（u（x）+v（x））=du（x）+dv（x）。 法则一 两个函数和（差）的微分等于两个函数微分的和（差）。 二 常数（基数）与函数的积的微分法则 设函数u=u（x）的微分为du=┆⊿u┆，C是常数求y=C u（x）的微分。 ∵ ⊿y= C u（x+dx）- C u（x）=C（u（x+dx）-u（x））=C⊿u，┆⊿y┆=┆C⊿u┆=┆C┆┆⊿u┆=C┆⊿u┆， ∴ dy=C?du（x）。 法则二 常数因子可提到微分符号前面。 三 函数的积的微分法则 设有两个函数u=u（x）和v=v（x）的微分为du=┆⊿u┆，dv=┆⊿v┆，其积y= u（x）? v（x），求其微分。 ∵ ⊿y = u（x+dx）? v（x+dx）- u（x）? v（x） = u（x+dx）? v（x+dx）- u（x+dx）? v（x）+ u（x+dx）? v（x）- u（x）?v（x） = u（x+dx）?（ v（x+dx）- v（x））+ （u（x+dx）- u（x））?v（x） = u（x+dx）?⊿v+⊿u? v（x） ┆⊿y┆=┆u（x+dx）?⊿v+⊿u? v（x）┆=┆u（x+dx）?⊿v┆+┆⊿u?v（x）┆=┆ u（x+dx）┆?┆⊿v┆+┆⊿u┆?┆v（x）┆= u（x）?┆⊿v┆+┆⊿u┆? v（x） ∴ dy=u（x）?dv（x）+du（x）?v（x）。 法则三 两个函数乘积的微分等于第一个因子的微分乘第二个因子，加上第一个因子乘上第二个因子的微分。 四 函数在连续点的商的微分法则 设有两个函数u=u（x）和v=v（x）的微分为du=┆⊿u┆，dv=┆⊿v┆，其商y= u（x）/ v（x），求其微分。 ∵ ⊿y= u（x+dx）/v（x+dx）- u（x）/ v（x） =（u（x+dx）·v（x）-v（x+dx）·u（x））/（v（x+dx）·v（x）） =（u（x+dx）·v（x）-u（x）·v（x）+ u（x）? v（x）-v（x+dx）·u（x））/（v（x+dx）·v（x）） =（（u（x+dx）- u（x））? v（x）-u（x）?（v（x+dx）-v（x）））/（v（x+dx）·v（x））=（⊿u· v（x）-u（x）·⊿v）／（v（x+dx）·v（x）） ┆⊿y┆=┆（⊿u· v（x）-u（x）·⊿v）／（v（x+dx）·v（x））┆=┆（⊿u· v（x）┆-┆u（x）·⊿v┆）／┆（v（x+dx）·v（x））┆=（┆⊿u┆· v（x）-u（x）·┆⊿v┆）／（┆v（x+dx）┆·┆v（x）┆）=（du·v（x）-u（x）dv）／v/2（x） ∴ d（u（x）/ v（x））=（du（x）·v（x）-u（x）·dv（x））/v/2（x）。 法则四 两个函数之商的微分等于分子的微分与分母的乘积减去分母的微分与分子的乘积，再除以分母的平方。 有了以上的法则就可以求很多函数鸡窝微分。 例1， 求y=x/2的微分。 解：dy=d（x/2）=d（x·x）=xdx+xdx=2xdx. 同理d（x/3）=d（x/2·x）=2x/2dx+x/2dx=3x/2dx. 我们可以用归纳法：设d（x/（n-1））=（n-1）x/（n-2）dx那么 d（x/n）=d（x/（n-1）·x）= x/（n-1）dx+x·（n-1）x/（n-2）dx= x/（n-1）dx+（n-1）x/（n-1）dx=n x/（n-1）dx. 例2， 求函数y=3x /5+8x /3-7x的微分和微商。 解，dy=d（3x /5+8x /3-7x） =d（3x /5）+d（8x /3）-d（7x） = 3d（x /5）+8d（x /3）-7d（x） =15x /4dx+24x /2dx-7dx =（15x /4+24x /2-7）dx 所以函数y=3x /5+8x /3-7x的微商为： Dy/dx=15x /4+24x /2-7. |
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