导数法则

导数 是在函数上任何一点的坡度。

有很多法则可以帮助我们去求导数。

例子：

• 常数 （像 3）的坡度永远是 0
• 直线 （像 2x 是 2，3x 是 3，以此类推）
• 等等。

以下是一些常用的法用来求函数的导数（例子在下面）。注意：这个符号 ’ 的意思是 '的导数'。.

常见函数	函数	导数
常数	c	0
直线	x	1
	ax	a
平方	x2	2x
平方根	√x	(½)x-½
指数	ex	ex
	ax	ln(a) ax
对数	ln(x)	1/x
	loga(x)	1 / (x ln(a))
三角 （x 的单位是 弧度）	sin(x)	cos(x)
	cos(x)	−sin(x)
	tan(x)	sec2(x)
反三角	sin-1(x)	1/√(1−x2)
	cos-1(x)	−1/√(1−x2)
	tan-1(x)	1/(1+x2)
法则	函数	导数
乘以常数	cf	cf’
幂次方法则	xn	nxn−1
加法法则	f + g	f’ + g’
减法法则	f - g	f’ − g’
积法则	fg	f g’ + f’ g
商法则	f/g	(f’ g − g’ f )/g2
倒数法则	1/f	−f’/f2
链式法则 （为 '复合函数'）	f º g	(f’ º g) × g’
链式法则 （用 ’ ）	f(g(x))	f’(g(x))g’(x)
链式法则 （用 d dx ）	dy dx = dy du du dx

'的导数' 也可以写成 d dx

所以 d dx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的，只不过写法不同

举例

例子：sin(x) 的导数是什么？

从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)

可以写为：

sin(x) = cos(x)

或：

sin(x)’ = cos(x)

幂次方法则

例子：x³ 是什么？

问题是 'x³ 的导数是什么？'

我们可以用幂次方法则，以 n=3:

xⁿ = nxⁿ⁻¹

x³ = 3x³⁻¹ = 3x²

例子：(1/x) 是什么？

1/x 等于 x^-1

我们可以用幂次方法则，以 n = −1:

xⁿ = nxⁿ⁻¹

x⁻¹ = −1x⁻¹⁻¹ = −x⁻²

乘以常数

例子：5x³ 是什么？

cf 的导数 = cf’

5f 的导数 = 5f’

幂次方法则：

x³ = 3x³⁻¹ = 3x²

所以：

5x³ = 5x³ = 5 × 3x² = 15x²

加法法则

例子：x²+x³ 的导数是什么？

加法法则说：

f + g 的导数 = f’ + g’

所以我们可以求每项的导数，然后求它们的和。

幂次方法则：

• x² = 2x
• x³ = 3x²

所以：

x² + x³ 的导数 = 2x + 3x²

减法法则

变量不一定是 x，我们可以相对于 v 来求导数：

例子：(v³−v⁴) 的导数是什么？

减法法则说：

f − g 的导数 = f’ − g’

所以我们可以求每项的导数，然后求它们的差。

幂次方法则：

• v³ = 3v²
• v⁴ = 4v³

所以：

v³ − v⁴ 的导数 = 3v² − 4v³

加法、减法、乘以常数和幂次方法则

例子：(5z² + z³ − 7z⁴) 的导数是什么？

幂次方法则：

• z² = 2z
• z³ = 3z²
• z⁴ = 4z³

所以：

(5z² + z³ − 7z⁴) = 5 × 2z + 3z² − 7 × 4z³ = 10z + 3z² − 28z³

 

积法则

例子：cos(x)sin(x) 的导数是什么？

积法则说：

fg 的导数是 = f g’ + f’ g

在这个例子里：

• f = cos
• g = sin

根据上面的列表：

• cos(x) = −sin(x)
• sin(x) = cos(x)

所以：

cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)

= cos²(x) − sin²(x)

 

倒数法则

例子：(1/x) 的导数是什么？

倒数法则说：

1/f 的导数 = −f’/f²

若 f(x)= x，f’(x) = 1

所以：

1/x 的导数是 = −1/x²

结果和在上面用幂次方法则求的一样。

链式法则

例子： d dx sin(x²) 的导数是什么？

sin(x²) 是由 sin() 和 x² 结合而成：

• f(g) = sin(g)
• g(x) = x²

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)

导数分别是：

• f'(g) = cos(g)
• g'(x) = 2x

所以：

d dx sin(x²) = cos(g(x)) (2x)

= 2x cos(x²)

链式法则也可以写成： dy dx = dy du du dx

让我们用这个公式来再做一遍上面的例子：

例子： d dx sin(x²) 的导数是什么？

dy dx = dy du du dx

设 u = x²，所以 y = sin(u)：

d dx sin(x²) = d du sin(u) d dx x²

分别微分：

d dx sin(x²) = cos(u) (2x)

代入 u = x² 和简化：

d dx sin(x²) = 2x cos(x²)

结果和上面一样！

再来看看一些链式法则的例子：

例子：(1/cos(x)) 的导数是什么？

1/cos(x) 是由 1/g 和 cos() 结合而成：

• f(g) = 1/g
• g(x) = cos(x)

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

导数分别是：

• f'(g) = −1/(g²)
• g'(x) = −sin(x)

所以：

(1/cos(x))’ = −1/(g(x))² × −sin(x)

= sin(x)/cos²(x)

注意：sin(x)/cos²(x) 也是 tan(x)/cos(x)，或其他不同的形式。

 

例子：(5x−2)³ 的导数是什么？

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

(5x-2)³ 是由 g³ 和 5x-2 结合而成：

• f(g) = g³
• g(x) = 5x−2

导数分别是：

• f'(g) = 3g² （用幂次方法则）
• g'(x) = 5

所以：

(5x−2)³ = 3g(x)² × 5 = 15(5x−2)²

 

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