大家好,我们上节课学习了关于三种分段函数求导法,回顾一下,分别是按定义求分界点处的导数或左右导数、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数、分界点是连续点时,求导函数在分界点处的极限值这三种方法,有效的掌握这三种方法分段函数求导基本都可以解决了。 今天我们学习的是高阶导数,我们知道,变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数,即 v=ds/dt或v=s‘ 而加速度a又是速度v对时间t的变化率,即速度v对时间t的导数 a=dv/dt=d(ds/dt)/dt或a=(s')' 这种导数的导数d(ds/dt)/dt或(s')'叫做s对t的二阶导数,记作 d^2s/dt^2或s''(t) 所以直线运动的加速度就是位置函数s对时间t的二阶导数。 一般的,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍是x的函数,我们把y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y''或d^2y/dx^2,即 y''=(y')'或d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx 相应的,把y=f(x)的导数f'(x)叫做y=f(x)的一阶导数 类似的,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,......一般的,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作 y''',y^(4),.....y^(n)或d^3y/dx^3,d^4y/dx^4,.....d^ny/dx^n 函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导,如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 由此可见,求高阶导数就是多次接连的求导数,所以仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。 对于给定的函数f(x),我们可用逐阶求导法求出高阶导数,但对某些简单的函数y=f(x)常用如下的方法求其n阶导数的表达式 (一)归纳法 先依次求出y=f(x)的一、二、三阶导数等,若能观察出规律性,就可写出y^(n)的公式,然后用数学归纳法证明,用归纳法易导出下列简单的初等函数的n阶导数公式 列题1:设函数f(x)有任意阶导数且f'(x)=f^2(x),则f^(n)(x)=?(n>2) 分析:对于这个题目来讲,我们可以先将f'(x)=f^2(x)两边求导得f''(x)=2f(x)f'(x)=2f^3(x),再求导得 f^(3)(x)=3!f^2(x)f'(x)=3!f^4(x).由此可归纳证明f^(n)(x)=n!f(n+1)(x)。 列题2:求指数函数y=e^x的n阶导数 分析:y'=e^x,y''=e^x,y'''=e^x,y^(4)=e^x,一般可得 y^(n)=e^x,所以(e^x)^(n)=e^x 列题3:求正弦函数与余弦函数的n阶导数 分析:y=sinx,y'=cosx=sin(x+π/2), y''=cos(x+π/2)=sin(x+π/2+π/2)=sin(x+2*π/2) y'''=cos(x+2*π/2)=sin(x+3*π/2) y^(4)=cos(x+3*π/2)=sin(x+4*π/2) 一般的,可得y^(n)=sin(x+n*π/2),用类似的方法可得(cosx)^(n)=cos(x+n*π/2) 列题4:求ln(1+x)的n阶导数 分析:y=ln(1+x),y'=1/(1+x),y''=-1/(1+x)^2,y'''=1*2/(1+x)^3,y^(4)=-1*2*3/(1+x)^4 一般的可得[ln(1+x)]^(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n (二)分解法 通过恒等变形讲某些函数分解成上述简单初等函数之和,常有以下情形:
2.三角函数的分解(利用三角函数恒等式及有关公式) 列题5:设y=sin^4x,求y^(n) 解;y=(1-cos2x/2)^2=1/4(1-2cos2x+cos^2(2x))=1/4-1/2cos2x+1/8(1+cos4x) y^(n)=-1/2*2^ncos(2x+nπ/2)+1/8*4^ncos(4x+nπ/2) =-2^(n-1)cos(2x+nπ/2)+1/2*4^(n-1)cos(4x+nπ/2) (三)用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数 (四)由f(x)在x=xo处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求f^(n)(xo)(在后面的泰勒公式部分讲解) 高阶导数及n阶导数的求法这四种方法,可以这么说,囊括了高阶导数求导法的所有题型,请伙伴们能够认真的理解并掌握,不管是即将步入大学的你们还是已经在大一大二甚至考研的学子们,学习并掌握这些方法,会对你们的考试有极大的帮助,泰勒公式部分,会单独拿出来讲解,望各位读友们能够及时收藏分享下,防止遗忘以及查漏补缺。 没点关注的点波关注,万分感谢! |
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