【原】高阶导数与高阶微分

高阶导数

    对函数求导可以得到导函数。同样地，对导函数求导又可以得到导函数的导数，称为二阶导数。以此类推，就可以得到更高阶的导数，而函数的导数也称为一阶导数，函数自身也可以称为零阶导数。

定义

设函数

的n-1阶导数

(或

)(n=2,3,4…)仍是个可导函数，则它的导数

(或

)被称为

的n阶导数，记为

(或

)，并称f(x)是n阶可导函数(简称f(x)n阶可导)或者f(x)的n阶导数存在。

    显然，若者f(x)的n阶导数存在，则它的低于n阶的导数都存在。可以证明，函数的线性组合的高阶导数满足以下定理。

定理

    设f(x)和g(x)是n阶可导的，则对任意常数c₁和c₂，它们的线性组合c₁f(x)+c₂g(x)也是n阶可导的，且满足如下的线性运算关系

另外，两个n阶可导函数之积的n阶导数还满足莱布尼兹公式。

高阶微分

    现在可以通过与定义高阶导数类似的方式定义高阶微分。设dy是

的一阶微分，则称dy的微分

为y的二阶微分；d2y的微分

为y的三阶微分。

    一般的，若y的n-1阶微分为dn-1y，则定义y的n阶微分为

    下面来求n阶微分的表达式。对于函数

其一阶微分为

对上式等号两边同时求微分，并利用乘积的微分运算法则，可以得到

对于第二个等号右边第一项，有

第二项中dx与自变量x无关，可以视为常量，因此d(dx)=0。从而可以得到y的二阶微分为

其中，dx2表示(dx)2。以此类推，可以得到n阶微分的表达式

上式建立了函数的n阶微分与n阶导数之间的联系。将上式变形可得到

上式就表明了n阶导数可以记为

的原因。