高中数学：求轨迹方程的方法

一、直接法

由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。

例1、已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。

（1）当x≤3时，方程变为，化简得。

（2）当x>3时，方程变为，化简得。

故所求的点P的轨迹方程是或。

二、定义法

由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。

例2、已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为。

三、待定系数法

由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。

例3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。

解：设双曲线方程为。将y=x－1代入方程整理得。

由韦达定理得。又有，联立方程组，解得。

∴此双曲线的方程为。

四、参数法

选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。

例4、过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。

设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由消去k得。

又，所以。

∴点M的轨迹方程为。