高中数学知识点3：函数（1）

一、函数及其单调性

函数包括：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等等。

单调性：单调性，也叫函数的增减性。是对某个区间而言的，它是一个局部概念。在某一区间上的增函数或减函数叫做单调函数。

Tips

判断方法：

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x、x是该区间内的任意两个值，且x₁＜x₂

②作差变形：作差f(x₁)-f(x₂)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x₁)-f(x₂)的符号

④得出结论：根据定义作出结论（若差>0，则为增函数；若差<>减函数）

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

做题方法：

①利用单调性。一般来说，要把该函数在所求的范围的单调性求出，在进行比较，如f(x)=x+1  比较f(2)、f(3)大小，由于函数f(x)在R上单调递增，所以f(2)<>

②利用导函数。对原函数求导，得到的导函数，导函数大于0，原函数单调递增，导函数小于0，原函数单调递减。 具体的等到了导数一章会解释。

习题：

1.函数f(x)=x2+6x-4，判断f(2)、f(3)的大小

2.函数f(x)=-x+6，判断f(2)、f(3)的大小

3.函数f(x)=4x-1-2，判断f(2)、f(3)的大小

二、函数的奇偶性

函数奇偶性是数学学科知识之一，奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

Tips

偶函数如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f(-x)=f(x)。

奇函数如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f(x)=f(-x)。

习题：

1.函数f(x)=x2+ax+3，若函数f(x)是偶函数则a=            

2.函数f(x)=xa_，函数f(x)是偶函数，则a的取值范围是           函数f(x)是奇函数，则a的取值范围是            

3.函数f(x)=x2+ax+b，若f(x)是奇函数，f(2)=0 则a+b=           

三、函数的最值

一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小）值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

Tips

函数最小值(lower bound)

设函数y=f(x)的定义域为d，如果存在M∈R满足：

①对于任意实数x∈d，都有f(x)≥M，

②存在x0∈d。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。

函数最大值(upper bound)

设函数y=f(x)的定义域为d，如果存在M∈R满足：

①对于任意实数x∈d，都有f(x)≤M，

②存在x0∈d。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。

习题：

1.函数f(x)=3x2+5x-6，求函数f(x)的最小值。

2.函数f(x)=ax2+4x+3，函数f(x)的最大值是3，求a的值。

3.函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，且过点（1,3），最小值为2 ，求a+b+c的值。

王海航|责编