360教育网函数（一）

函数（一）

 

二. 重点、难点：

1. 对应、映射一一映射、逆映射

2. 定义域

（1）分母不为0

（2）无意义

（3）偶次根式内部非负

（4）对数真数大于0

（5）对数底数大于0且不等于1

3. 解析式求法

    （1）待定系数法   （2）换元法   （3）方程法

4. 值域的求法

（1）基本函数法                       （2）图象法

（3）单调性法                          （4）复合函数

（5）分离常数法                       （6）换元法

（7）三角代换                          （8）判别式

（9）导数法

 

【典型例题】

[例1] 求函数的定义域

答案：       

 

[例2] 函数的定义域恰为（）求实数。

答案：原题不等式的解为令不等式

的解恰为（）

∴

[例3] ，求

答案：换元法

令代回

∴     ∴

 

[例4] 偶函数，奇函数，且，求

答案：方程法

   

[例5] 过A（1，4）且，求。

答案：待定系数法

  

∴     ∴

 

[例6] 求下列函数值域

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

答案：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

       

（6）          

（7）      

     

（8） 

    ∴  

（9）

         

      

（10）

且       

且  

且

（11）令   

  

  

  

（12）令  

   

       

（13）令  

   

  

∴

（14）   

①

②    

且    ∴

（15）   

  

        

（16）P（）A（5，5）B（0，5） 

∴    ∴

 

[例7] 设A=R，B=R，：是A→B的映射。

（1）设，则在B中的象是什么？

（2）设，若在映射下的象为5，则S应是多少？在映射下的象是什么？

解析：（1）∵，而：是A→B的映射

∴在B中的象为，即：

（2）∵，∴，即是集合A中的元素，且有：

又在集合B中的象为5，∴，解得。同理可得s在映射下在集合B中的象是6。

 

[例8] 已知定义域为R的函数满足

（1）若，求；又若，求；

（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。

解析：（1）因为对任意，有，

所以，

又由，得，即

若，则，即

（2）因为对任意，有

又因为有且只有一个实数，使得

所以对任意，有，在上式中令，

有，又因为，故或

若，则，即

但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故

若，则有，即，易验证该函数满足题设条件

综上，所求函数为

 

[例9] 已知函数是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数。又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5。

（1）证明：；

（2）试求的解析式；

（3）试求在[4，9]上的解析式。

解析：（1）证明：∵是以5为周期的周期函数，∴

又是奇函数，∴

∴

（2）当时，由题意，可设

由得，解得

∴

（3）∵（）是奇函数，∴

∴   又是一次函数

∴可设   ∵   又

∴   ∴当时，

当时，    ∴

∴当时，    当时，

∴

当时，，

∴

 

[例10] 设函数在上的最大值为3，求实数。

解析：① 令，即，得，此时，可知适合题意。

② 令，即，得，此时对称轴为，开口向下，知适合题意。

③ 令，即，得，此时对称轴为，不适合题意（时，显然不适合题意），故的值为或。

 

[例11] 已知函数的定义域为R。

（1）求实数m的取值范围；

（2）当m变化时，若y的最小值为，求函数的值域。

分析：（1）定义域为R，即不等式的解集为R。（2）求y的最小值用一元二次函数求最值的方法。

解析：（1）依题意，当时，恒成立

当时，；当时，，即

解之得，故

（2）当时，；当时，

∴，因此，

∴的值域为

评析：本题要注意分类讨论，要分和讨论，求的值域用单调性求。

 

[例12] 已知函数的值域是，试求函数的定义域和值域。

解析：∵的定义域为R，令，则有

由，得，即

∴，且    ∴，即

∵，∴恒成立

又

∴函数的定义域为R，值域为

 

[例13] 已知二次函数（是常数且）满足条件：且方程有等根。

（1）求的解析式；

（2）问是否存在实数（），使的定义域和值域分别为[]和[]？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解析：（1）依题意，方程有等根，∴，∴

又，∴，∴，∴

（2）∵的对称轴方程为

∴当时，在[]上为增函数，设存在，则

即

又，∴

即存在实数，使的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]

 

[例14] 对定义域分别是，的函数，，规定：函数

（1）若函数，，写出函数的解析式；

（2）求问题（1）中函数的值域；

（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。

（1）

（2）当时，

若，则，其中等号当x=2时成立，若，则，其中等号当x=0时成立。

∴ 函数的值域是

（3）解法一：令

则

于是

解法二：令，则

于是

 

[例15] 求下列函数的定义域：

（1）；

（2）（）

解析：（1）由得，即，且

所以函数的定义域为

（2）由得

① 当时，函数的定义域为R；

② 当且时，定义域为；

③ 当且时，定义域为；

④ 当且时，定义域为R。

 

【模拟试题】

1. 下列图形中，不可能是函数的图象的是（    ）

2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. 与                         B. 与

C. 与                      D. 与

3. 给出如下三个等式：

① ；② ；③ ，则不满足其中任何一个等式的函数是（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 对于任意的两个实数对（）和（），规定（）=（），当且仅当；运算“”为：，运算“”为：

，设，若（1，2）（）=（5，0），则（1，2）（）=（    ）

    A.（4，0）    B.（2，0）    C.（0，2）    D.（0，－4）

5. 已知函数的图象如图所示，那么（    ）

A.                        B.

C.                                  D.

6. 函数的定义域是（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 设，则的定义域为（    ）

A.（－4，0）∪（0，4）                         B.（－4，－1）∪（1，4）

C.（－2，－1）∪（1，2）                            D.（－4，－2）∪（2，4）

8. 已知，则（    ）

A.                             B.

C.                                        D.

9. 若从集合P到集合所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有（    ）

    A. 32个    B. 27个    C. 81个    D. 64个

10. 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是（    ）

A. A=B=N^*，对应法则：

B. A=R，B={0，1}，对应法则：

C. A=B=R，对应法则：

D. A=R，B=，对应法则：

11. 给出函数，则（    ）

    A.     B.     C.     D.

12. 已知函数满足，则在定义域内（    ） 

A. 是奇函数且是增函数                          B. 是奇函数且是减函数

C. 是偶函数                                            D. 是增函数，但既非奇函数又非偶函数

13. 若函数（，且）的定义域分别为M，N，全集为R，则下列关系式正确的是（    ）

    A. M∩N=M    B. M∩N=N    C. M∪N=M    D. M∩N=C_RN

14. 定义两种运算：，则函数的解析式为（    ）

A.

B.

C.

D.

15. 设是奇函数，则使的x的取值范围是（    ）

    A.（－1，0）    B.（0，1）    C.（－∞，0）    D.（－∞，0）∪（1，+∞）

16. 已知函数在R上为奇函数，且当时，，则在R上的解析式为（    ）

A.                                 B.

C.                               D.

17. 设是定义在R上以6为周期的函数在（0，3）上单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（    ）

A.                         B.

C.                         D.

18. 函数的图象关于（    ）

A. x轴成轴对称图形                         B. y轴成轴对称图形

C. 直线y=x成轴对称图形                D. 原点成中心对称

19. 函数的值域是（    ）

    A.     B.     C.     D.

20. 若都是奇函数，且在（0，+∞）上有最大值8，则在（－∞，0）上F（x）有（    ）

A. 最小值－8   B. 最大值－8    C. 最小值－6    D. 最小值－4

  21. 函数的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D. 3

  22. 函数的最小值是（    ）

A. 1    B. 2    C.     D.

  23. 已知，则的最大值为（    ） 

A. 2    B.     C.     D.

  24. 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（    ）

A.（－1，1）                                B.（0，1）   

C.（－1，0）∪（0，1）               D.（－∞，－1）∪（1，+∞）

  25. 在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则（    ）

A. 在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B. 在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C. 在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D. 在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

  26. 对于函数① ；② ；③ ，判断如下三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在（－∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数

命题丙：在（－∞，+∞）上是增函数

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（    ）

A. ①③    B. ①②    C. ③    D. ②

  27. 的递增区间为（    ）

A.（1，+∞）    B.（－3，1）   C.（－∞，－1）   D.（－∞，－3）

  28. 若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（    ）

A.（－∞，2）                       B.（2，+∞）  

C.（－∞，－2）∪（2，+∞）         D.（－2，2）

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. D    2. D    3. D    4. B    5. B    6. B    7. B    8. C    9. D    10. B

11. D   12. A   13. A   14. D   15. A   16. D   17. B   18. D   19. A    20. D

21. A   22. B   23. C   24. C   25. B   26. D   27. A   28. D