例1、设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = 1 , 例题1图(1) (1)求 a2 的值 ; (2)求数列 { an } 的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n ,有 例题1图(2) 解: (1)依题意, 2S1 = a2 - 1/3 - 1 - 2/3 , 又 S1 = a1 = 1 , 所以 a2 = 4 ; (2)当 n ≥ 2 时,有 例题1图(3) 两式相减得 例题1图(4) 整理得 例题1图(5) 故数列 { an/n } 是首项为 a1/1 ,公差为 1 的等差数列, 所以 例题1图(6) (3)当 n = 1 时 ,1/a1 = 1 < 7/4="" ;="" 当="" n="2" 时="">a1 + 1/a2 = 1 + 1/4 = 5/4 < 7/4=""> 当 n = 3 时 例题1图(7) 例题1图(8) 综上,对一切正整数 n ,有 例题1图(9) 放缩技巧: 所谓放缩的技巧:即欲证 A≤ B ,欲寻找一个(或多个)中间变量 C,使 A≤ C ≤ B , 由 A 到 C 叫做 “放”,由 B 到 A 叫做 “缩” 。 常用的放缩技巧 常用的放缩技巧图(1) 常用的放缩技巧图(2) 放缩方法归纳: ① 先求和后放缩 例题2、正数数列 {an} 的前 n 项的和为 Sn ,且满足关系式 2✔Sn = an + 1 ,试求: (1)数列 {an} 的通项公式; (2)设 bn = 1/(an·an+1), 数列 { bn } 的前 n 项和为 Bn , 求证 : Bn < 1/2=""> 解: (1)由已知得 4Sn = ( an + 1)^2 , n ≥ 2 时, 例题2图(1) 作差得: 例题2图(2) 所以: 例题2图(3) 又因为 {an} 是正数数列,所以 an - an-1 = 2 , 即 {an} 是以公差为 2 的等差数列 , 由 2✔S1 = a1 + 1 , 得 a1 = 1 , 所以 an = 2n - 1 。 (2) 例题2图(4) 所以: 例题2图(5) 注:一般先分析数列的通项公式。 如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式。 ② 先放缩再求和 例题3、已知各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 且满足关系式 (an)^2 + an = 2Sn 。 (1)求证: 例题3图(1) (2)求证: 例题3图(2) 解: (1)令 n = 1 , 则有 (a1)^2 + a1 = 2S1 = 2a1 , 因为 a1 > 0 , 所以 a1 = 1 。 又因为 (an)^2 + an = 2Sn ,有 例题3图(3) 上述两式相减,且 an+1 = Sn+1 - Sn 得 例题3图(4) 因为 an > 0 , 所以 an+1 - an = 1 所以 an = 1 + 1 × (n - 1)= n , Sn = n(n+1)/2 。 所以 例题3图(5) (2) 因为 例题3图(6) 所以 例题3图(7) 所以 例题3图(8) 例题3图(9) ③ 裂项放缩 例题4、已知 n 是正整数,求证: 例题4图(1) 证明: 因为 例题4图(2) 所以 例题4图(3) ④ 公式放缩 例题5、已知函数 例题5图(1) .证明: 例题5图(2) 证明: 因为 例题5图(3) 又因为 n 是正整数 且 n ≥ 3 ,所以只需证明 2^n > 2n + 1 ; 例题5图(4) 所以 例题5图(5) . |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》