第一次给新初三的同学们上课,我们来聊聊学习这点事。 让我们来思考几个问题: 1.我们为什么要学习? 2.我们要学习什么? 3.我们应该怎样学习? 老师先采访几位同学。 老师再来谈谈自己的看法。 1.我们为什么要学习呢? 当然是为自己,为了解放自己获得自由。人的自由需要什么条件?要做到知者不惑,仁者不忧,勇者不惧,人才是自由的。换句话说,人要有能力,有智慧,然后才能有自由选择权,而这些都需要学习。 2.我们要学习什么呢? 学习事物运行的规则,学习解决问题的方法,学习如何与世界相处,学习如何与自己相处。 3.我们应该怎样学习呢? 老子说:道生一,一生二,二生三,三生万物。这是世界的形成过程。我们的学习过程要反过来,从认识万物,把万物分门别类,研究它们的共同规律。也就是化繁复为简约,化混沌为有序,化偶然为必然,寻找万物的根本规律,达到归一之境。 一就是规律、就是真理、就是道路! 让我们一起寻找至简至易至大至美的一! 我们再来思考:为什么有些同学知识记不住,题目不会做? 因为还没有达到自然运用必然想到的状态. 如何才能达到这样的状态呢? 我们要把所学知识方法紧密联系融会贯通,寻找不同知识内容的相同点把它们归一,寻找不同方法结构的相同点把它们归一,最后把繁化为简多变为一,一以贯之,解决问题就能达自然必然的状态。 我们以实例来探讨: 如图,ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD⊥AC,连接AD,在AD上取点E,使AE=AB,连接BE,交AC于点M. 求证:AD=AM+CD 乍看此题是不是觉得难以下手? 不要紧,我们有一以贯之的解题原则:若要问题得解,则须条件用足,模型完备。若条件无法应用则说明模型不完备,需构造完整。从问题情境出发,若发现模型有残缺,则添补完整;若现图形元素有联系,则变换重组。 题中有AD=AM+CD,AD在ΔACD中,AC旋转90度得AB,这就是联系的线索。我们自然想到把ΔACD跟随AC旋转90度。 谁能告诉我证明过程? 再换个思路,题中有AD=AM+CD,我们把AM补上一段AG使之等于CD,再证明MG=AD就行了。大家把图画出来看一看,下面的证明怎么进行下去。 我们再把两个方法放在一起比较,能不能归一? 说说看,这两种方法的共同点是什么? 可发发现:它们都是以相等的边为线索,构造出一对全等三角形,而且产生了一个等腰三角形。一个是顺时针旋转90度,一个是逆时针旋转90度,所以最终两个构造出来的三角形组成了一个平行四边形。 我们来看怎样把不同问题的知识内容归一: 例.下面问题中所求数量如何计算? (1)n个人参加宴会,每2人要握1次手,问共握手多少次? (2)从n张不同的纸牌中任选2张,共有多少种不同的选法? (3)n支球队参加比赛,每2队要比赛一场,共赛多少场? (4)直线上有n个点,共构成多少条线段? (5)平面内有n个点,最多构成多少条直线? (6)平面内有n条直线,最多有多少个交点? (7)如图,由一点引n条射线,共可构成多少个角? (8)如图,AB上共有n个点,图中共有多少个三角形? (9)按如下方式排列圆点,排(n-1)行共需多少个圆点? (10)n边形共有多少条对角线? 上述问题中,无论是1个人、1张牌、1支球队、1个点、1条直线、1条射线,还是1次握手、1种选牌、1场比赛、1条线段、1条直线、1个交点、1个角、1个三角形、1个圆点,它们在数学关系上都是等价的。2个人握手1次就相当于2支球队比赛1场或2张牌构成1个组合或2个点构成1条直线或2条射线组成1个角。 它们的计算公式都是n(n-1)/2,因此它们是统一的,我们把它们归结为同一类问题。 又如方法结构的归一: 1.如图,D、E分别是AB、BC的中点,AB=a, BC=b, 则DE=? 2.如图,OD、OE分别是∠AOB、∠BOC的角平分线,∠AOB=α, ∠BOC=β, 则∠DOE=? 它们的计算方法分别为: 同学们能不能看出这两个问题及其解法的结构一致性? 若把第1题图形中的C点移至AB之间,如何表示DE的长?式子结构变吗?式结构与形结构有什么对应的结构关系? 显然,C点到AB内部,则式子中的加号变为减号。 第2题作何对应的变化可以得到与第1题相应的结构关系? 显然把OC移至∠AOB内部,表达式的结构也发生了同样的变化。 这两题有共同的结构形式,同样可以归一:图形的位置变化引起表达式的符号变化。这个规律可以应用到其它很多问题,我们会发现这是一个一般性的规律。 我们经常说的融会贯通是指什么呢?实际上就是我们在学习过程中要会概括原理,弄清本质,这就是归一;再由此迁移创造,推陈出新,这是由一生二。 比如下面两个式子,外形上很相似,为什么一个成立,另一个不成立呢? 我们从内在关系来看,①式是乘法对加法的分配律,②式是乘方对加法,相差两级运算,不存在分配律。那么改成什么样子就可以得到相同关系的式子呢? 变成下面③式显然就成立了,请你解释一下。 可以概括其原理:上一级运算对下一级运算存在分配律。 因此可以判断,下面的式子都是成立的。(字母的取值范围自己判断) 再看一例如何由已知结论迁移创造出未知结论: 前式是乘方运算,后式是开方运算,两者互逆,按其结构关系可推知结论中的运算也应是互逆的,于是得: 最后,再强调一下同学们要养成数学学习的基本习惯。 1.知识学习方面: (1)多语言表达:对数学知识用图、式、文多种方式表达。 (2)深度理解:搞清楚该知识是什么,为什么,怎么用。(你是谁,从哪里来,到哪里去?) 2.解决问题方面: (1)可视化思考:在题目中圈划标注,并进行列画推算。 (2)反思归一:该题应用了什么知识,什么方法,思路怎么想到,属于哪一类问题,可概括成什么规律。 【资源共享,互利共赢,本文已开放转载,欢迎分享交流】 |
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